H_n/n的极限

hbghlyj

Limit[HarmonicNumber[n]/n, n -> 0]$=\frac{\pi}6$

WolframAlpha 显示

hbghlyj

是因为
$$\frac{H_n}n = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(1 + k)(1 + k + n)}$$
但这个如何证明呢

hbghlyj

哦。可以用$\frac{1}{(1 + k)(1 + k + n)}=\frac1n(\frac1{1+k}-\frac1{1+k+n})$证明
$$\frac1n\sum_{k=1}^n\frac1k= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(1 + k)(1 + k + n)}
$$
至此都搞清楚了👌