退化的椭圆曲线$(y - x^2)x = 0$

hbghlyj

$(y - x^2)x = 0$是抛物线和直线的并集。
topologicalmusings博客：
可以赋予倒过来的直线$x=0$通常的乘法。
    $(0, s) + (0, t) := (0, - s t)$
因为是倒过来，单位元为$(0,-1)$：
    $(0,s)+(0,-1)=(0,s)$.
因此$(0,s)$的逆元为$(0,s^{-1})$：
    $(0, s) + (0, s^{-1}) := (0, -1)$
把这个乘法延拓到$(y - x^2)x = 0$上的点：
    $(0, s) + (0, t) := (0, - st)$
    $(s, s^2) + (t, t^2) := (0, -1/(s t))$
    $(0, s) + (t,t^2) := (-t/s, t^2/s^2)$
可见，直线上的点和直线上的点相乘得直线上的点，抛物线上的点和直线上的点相乘得抛物线上的点，抛物线上的点和抛物线上的点相乘得直线上的点。具有“奇偶性”。
所以，$(y - x^2)x = 0$对应于$\{-1, 1\} \times \mathbb{R}^*$，其中$x=0$对应于$\{1\} \times \mathbb{R}^*$，$y-x^2=0$对应于$\{-1\} \times \mathbb{R}^*$.

下面验证这个乘法就是把$(y - x^2)x = 0$视为退化的椭圆曲线时的乘法：
设 $(0, a), (s, s^2), (t, t^2)$ 共线，
$$\frac{a-s^2}{0-s}=\frac{t^2-s^2}{t-s}\iff a = -s t$$
所以把$(y - x^2)x = 0$视为退化的椭圆曲线时的乘法的极限和上面的乘法相符。

    $(0, a) + (s, s^2) = (t^{-1}, t^{-2}) = -(t, t^2)$

    $(s, s^2) + (t, t^2) = (0, 1/a) = -(0, a)$

hbghlyj

$\left(y-x^{2}\right)x=0.01$
$\left(y-x^{2}\right)x=0.001$
$\cdots\cdots$
趋于$\left(y-x^{2}\right)x=0$

hbghlyj

$A,B$都在“接近”直线$x=0$的曲线段上，$O$为曲线上的一点$(-k,-1+k^2)$，
$AB$交曲线$(y-x^2)x=k$于$C$（$C\ne A,B$），
$OC$交曲线$(y-x^2)x=k$于$G$（$G\ne O,C$），
则当$k\to0$时，$y_G\to-y_Ay_B$.
证明：由$A,B,C$共线得（WolframAlpha）$$x_Ax_Bx_C=-k$$
由$O,C,G$共线得$$kx_Cx_G=-k$$
两式相除得$$x_G=\frac{x_Ax_B}{-k}$$
当$k\to0$时，$x_A\to0$，$x_B\to0$，$x_G\to0$，故
$$\lim_{k\to0}\frac{y_Ay_B}{y_G}=\lim_{k\to0}\frac{(\frac k{x_A}+x_A^2)(\frac k{x_B}+x_B^2)}{-\frac{k^2}{x_Ax_B}+x_G^2}=\lim_{k\to0}\frac{(\frac k{x_A})(\frac k{x_B})}{-\frac{k^2}{x_Ax_B}}=-1$$

当$k=0.01$时，$-y_Ay_B\approx y_G$

在GeoGebra中作图不太方便的一处是需要调整交点次序使$C\ne A,B$且$G\ne O,C$
对此我想了一个办法：
取AB与曲线的3个交点的y坐标round后，找出round(y(A))和round(y(B))的位置nA,nB，剩下的交点就是C
l1 = {Intersect(eq1, f, 1), Intersect(eq1, f, 2), Intersect(eq1, f, 3)}
l2 = Zip(round(y(a)), a, l1)
nA = indexOf(round(y(A)), l2)
nB = indexOf(round(y(B)), l2)
nC = 1 + 2 + 3 - nA - nB
C = l1(nC)
这样求出的 C 就是 eq1 与 f 除 A、B 外的交点了。

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-3-30 11:06
对此我想了一个办法：
取AB与曲线的3个交点的y坐标round后

又想了一个办法：
l1 = {Intersect(eq1, f, 1), Intersect(eq1, f, 2), Intersect(eq1, f, 3)}
l2 = Zip(round(y(A) - y(a)) ≠ 0 ∧ round(y(B) - y(a)) ≠ 0, a, l1)
C = l1(IndexOf(true, l2))
去掉了 y坐标接近A、B的交点。

g: Line(O, C)
l3 = {Intersect(eq1, g, 1), Intersect(eq1, g, 2), Intersect(eq1, g, 3)}
l4 = Zip(round(Distance(O, a)) ≠ 0 ∧ round(Distance(C, a)) ≠ 0, a, l3)
G = l3(IndexOf(true, l4))
去掉了接近O、C的交点。
退化三次曲线.ggb (12.91 KB, Downloads: 27)

2024-3-30 20:35 Upload

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hbghlyj

在GeoGebra中还有一处不太方便的是，已经调整好A、B的位置，保存后变成在视图左上角了。
可能是因为A、B是半自由点（曲线eq1上的点），而GeoGebra保存时不记录半自由点的坐标。
因此每次打开时都要重新调整A、B，使它们在中间的接近x=0的曲线段上。

hbghlyj

对于直线和圆的并$(1 - x^2-y^2)x = 0$也能做类似的计算吗？算出来的$(0, s) + (0, t)$是什么？

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-3-30 13:06
对于直线和圆的并$(1 - x^2-y^2)x = 0$也能做类似的计算吗？算出来的$(0, s) + (0, t)$是什么？ ...

找到了：AlgTop2: Homeomorphism and the group structure on a circle
从17:12时刻开始观看：

$$A*B$$	$$(A*B)*C$$	$$(A*B)*C=A*(B*C)$$

\begin{aligned}
\underline{\text {Prob } 4}&\text { Show that with } e(h)=\left(\frac{1-h^2}{1+h^2}, \frac{2 h}{1+h^2}\right)\\
& e\left(h_1\right) * e\left(h_2\right)=e\left(h_3\right) \text { where } \\
& h_3=\frac{h_1+h_2}{1-h_1 h_2}
\end{aligned}
Franz Lemmermeyer, Conics - a poor man's elliptic curve
Franz Lemmermeyer, Higher descent on Pell conies
Shailesh A. Shirali, Groups Associated with Conics

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-12-17 11:45
Shailesh A. Shirali, Groups Associated with Conics

似发现原文的一处打字错误：第36页

The group $\mathscr G\left(\Gamma_3 / \mathbb{Q}\right)$ is isomorphic to the group $(\{a+b \sqrt{2}: a, b \in \mathbb{Q}\},+)$.

这里的$(\{a+b \sqrt{2}: a, b \in \mathbb{Q}\},\color{red}{\bf +})$应该是$(\{a+b \sqrt{2}: a, b \in \mathbb{Q}\},\times)$吧。

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-12-17 11:45
$h_3=\frac{h_1+h_2}{1-h_1 h_2}$

formal group 的定义(1)式是
F(X, Y) = X + Y + terms of degree ⩾ 2.

单位圆上的$\frac{h_1+h_2}{1-h_1 h_2}=h_1+h_2+\sum_{k=1}^\infty(h_1+h_2)(h_1h_2)^k=h_1+h_2+{}$terms of degree ⩾ 2.
确实符合 formal group 的定义(1)式。

继续看formal logarithm $\log_F$是从F到G_a的isomorphism，观察到$\arctan(\frac{h_1+h_2}{1-h_1 h_2})=\arctan(h_1)+\arctan(h_2)$，所以单位圆上的这个$\log_F$正好是$\arctan$

一般地，三次曲线上这个$\log_F$是elliptic integral，这是因为invariant differential为$\frac{1}{\frac{\partial F}{\partial X}(0,T)}\,dT.$
见Corollary 5.12. 或 椭圆曲线教材的作者Joseph H. Silverman的评论

把这个小结论用于刚才的单位圆，计算出$\left.\frac{\partial}{\partial x} \frac{x+y}{1-x y}\right|_{x=0}=y^2+1$，从而invariant diffferential为$\frac{1}{y^2+1}$，它的积分是$\arctan y$，因此我们再次得出单位圆上的这个$\log_F$正好是$\arctan$

青青子衿

x^3 - 21 x y^2 + 37 y^3 + 42 x^2 z - 111 x y z + 441 x z^2 - 777 y z^2 + 1369 z^3
好像也是退化的三次曲线