Catalan常数的 33 种表示

hbghlyj

33 representations for Catalan's constant
Entry 1. $G=\int_0^1 \frac{\tan ^{-1}(x)}{x}\rmd x$
$\ldots\ldots$
Entry 17. $G=\int_0^{\pi / 2} \sinh ^{-1}(\sin (x))\rmd x$
如何由Entry 1推出Entry 17？

hbghlyj

将$\sinh ^{-1}(z)$的积分表示$
\sinh ^{-1}(z)=\int_0^1 \frac{z}{\sqrt{1+t^2 z^2}}\rmd t
$代入Entry 17并交换积分次序，
\[
\int_0^{\pi / 2} \sinh ^{-1}(\sin (x))\rmd x=\int_0^1 \int_0^{\pi / 2} \frac{\sin (x)}{\sqrt{1+t^2 \sin ^2(x)}} \rmd x \rmd t
\]
内层积分为$\int_{0}^{\pi/2}\frac{\sin(x)\rmd x}{\sqrt{1+t^2 \sin^2 x}}=\frac{\tan^{-1} t}{t}$，就化为了Entry 1.

MSE还有一种方法。

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-4-4 18:02
内层积分为$\int_{0}^{\pi/2}\frac{\sin(x)\rmd x}{\sqrt{1+t^2 \sin^2 x}}=\frac{\tan^{-1} t}{t}$

补充一下计算过程：$\int_{0}^{\pi/2}\frac{\sin(x)\rmd x}{\sqrt{1+t^2 \sin^2 x}}\overset{u=\cos x}=\int_{0}^{1}\frac{\rmd u}{\sqrt{1+t^2(1-u^2)}}=\frac1t\int_{0}^{1}\frac{\rmd u}{\sqrt{1+\frac1{t^2}-u^2}}=\frac1t\sin^{-1}(\frac{u}{\sqrt{1+\frac1{t^2}}})|_{u=0}^1=\frac1t\sin^{-1}(\frac1{\sqrt{1+\frac1{t^2}}})=\frac{\tan^{-1} t}{t}$