求证$e^{f(x)}$是超越函数，其中$f(x)$是非常数的有理函数

abababa

如题。我证明了一部分，请教后面要怎么证明？

不妨设$f(x)$是$\mathbb{C}$上的有理函数，就是能写成两个复系数多项式之商的形式。所有这样的$f(x)$构成函数域$\mathbb{C}(x)$。

假设$z=e^f$是代数函数，则可设$z$在$\mathbb{C}(x)$上的极小多项式为$m(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$，其中$a_i\in\mathbb{C}(x)$。于是
\[0=m(z)=z^n+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_1z+a_0\]

而$z$是$f$的函数，对上式求导有
\[0=nf'\cdot z^n+\cdots+a_0'\]

若$nf'=0$，则上式右边是$z$的至多$n-1$次多项式，且能用$z$零化，这与$z$的极小多项式是$n$次多项式矛盾，因此$nf'\neq0$，于是两边用$nf'$除得
\[0=z^n+\cdots+\frac{a_0'}{nf'}\]

上式右边也是$z$的极小多项式，而极小多项式唯一，比较上式右边与$m(x)$的常数项即有$\frac{a_0'}{nf'}=a_0$，即$\frac{a_0'}{a_0}=nf'$，即$(\ln a_0-nf)'=0$，于是$\ln a_0-nf$是常数。由于已知$f$不是常数，因此$a_0$也不是常数。

我证明到这里，后面要怎么证明$a_0$是常数，导出矛盾呢？

hbghlyj

$e^x$ has essential singularities at $x=∞$
所以不是有理函数

abababa

hbghlyj 发表于 2024-4-12 19:40
$e^x$ has essential singularities at $x=∞$
所以不是有理函数

这只是证明了$f(x)=x$的情况吧，要证明原问题，还要证明不是常数的有理函数都是无界的才行。我还是想通过主楼的方式证明这个问题。