$\sin n$的Banach limit

hbghlyj

$\phi (x)=\phi (Sx)$所以数列$(-1)^n$的Banach limit为0，那么数列$\sin n$的Banach limit为？

hbghlyj

模仿Wikipedia上的例子，很容易就能证明吧：
设$x:=(\sin1,\sin2,\dots)$，则
$\sin(n+2)+\sin(n)-2\cos(1)\sin(n+1)=0$
$\implies\phi(S^2x)+\phi(x)-2\cos(1)\phi(Sx)=0$
$\implies\phi(x)+\phi(x)-2\cos(1)\phi(x)=0$
而$2-2\cos(1)\ne0$
$\implies\phi(x)=0$

hbghlyj

可以用Cesàro summation推出Almost convergent sequence
\[
\frac1n\sum_{k=1}^n \sin (k)=\frac{1}{2n}\left(\sin (n)-\cot \left(\frac{1}{2}\right) \cos (n)+\cot \left(\frac{1}{2}\right)\right)\to0
\]