等式成立需要$f,g$互素吗？

hbghlyj

多项式$f,g$，$\gcd(g,g'')=1$，$0\le\deg f<\deg g$，则$$\sum_{\left\{\omega\inC:\ g(\omega)=0\right\}}\frac{f(\omega)}{(x-\omega)g'(\omega)}=\frac{f(x)}{g(x)}$$
等式成立不需要$f,g$互素？(若$f(\omega)=0$，将$\frac{f(\omega)}{(x-\omega)}$在$x=\omega$的值视为多项式$\frac{f(x)}{(x-\omega)}$在$x=\omega$的值.)

$\deg f=2,\deg g=3$时的验证：
RootSum[#^3 + a #^2 + b # + c &, (#^2 + p # + q)/(3 #^2 + 2 a # + b)/(x - #) &]==(p x + q + x^2)/(a x^2 + b x + c + x^3)