方差

溦澜居士

X，Y服从二项分布B（2，3/4），求方差D（X+Y）的最小值
X,Y不一定相互独立

战巡

定义你的符号，$B$是什么玩意？$D$又是什么玩意？很显然这些都不是统计学界的国际通用符号

还有$X,Y$是否独立？

溦澜居士

战巡 发表于 2024-4-24 02:02
定义你的符号，$B$是什么玩意？$D$又是什么玩意？很显然这些都不是统计学界的国际通用符号

还有$X,Y$是否 ...

好的

战巡

\[Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y)=Var(X)+Var(Y)+2E(XY)-2E(X)E(Y)\]
这里面只有$E(XY)$是个变数，其他都是固定值，没法动

下面为了表示方便，定义$P(x,y)=P(X=x,Y=y)$，那么有
\[P(0,0)+P(0,1)+P(0,2)=\frac{1}{16}=P(0,0)+P(1,0)+P(2,0)\]
\[P(1,0)+P(1,1)+P(1,2)=\frac{3}{8}=P(0,1)+P(1,1)+P(2,1)\]
\[P(2,0)+P(2,1)+P(2,2)=\frac{9}{16}=P(0,2)+P(1,2)+P(2,2)\]
于是
\[P(XY=0)=P(0,0)+P(0,1)+P(0,2)+P(1,0)+P(2,0)=\frac{1}{8}-P(0,0)\]
\[P(XY=1)=P(1,1)\]
\[P(XY=2)=P(1,2)+P(2,1)\]
\[P(XY=4)=P(2,2)\]


\[E(XY)=P(1,1)+2[P(1,2)+P(2,1)]+4P(2,2)\]
\[=P(1,1)+2[P(1,2)+P(2,2)+P(2,1)+P(2,2)]\]
\[=P(1,1)+2[\frac{9}{16}-P(2,0)+\frac{9}{16}-P(0,2)]\]
\[=P(1,1)+\frac{9}{4}-2[P(0,2)+P(2,0)]\]
注意
\[0\le P(0,2)\le \frac{1}{16},0\le P(2,0)\le \frac{1}{16}\]
\[0\le P(1,1)\le \frac{3}{8}\]

上述结果的最小值，为$P(0,2)=P(2,0)=\frac{1}{16}, P(1,1)=0$时取得，此时$P(2,1)=P(1,2)=\frac{3}{8},P(2,2)=\frac{1}{8}$，其余皆为$0$
此时$E(XY)=2$为最小值
\[Var(X+Y)=\frac{3}{8}+\frac{3}{8}+2\cdot 2-2\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{3}{2}=\frac{1}{4}\]

最后讲讲符号问题

二项分布的国际通用符号，为$BIN$，即$X\sim BIN(n,p)$这种形式，单纯的$B$，很容易与beta分布混淆，有些地方真的会把$X\sim Beta(a,b)$写成$X\sim B(a,b)$，而恰好二项分布和beta分布都是有两个参数的，光写个$B$根本分辨不清到底在说哪个。

方差的国际通用符号为$Var$，$D$是德语符号，然而现在英语才是国际通用学术语言

溦澜居士

原来是运输问题...受教了,感谢
以后也会注意数学符号的运用的