求一个五次方程的实数根

lemondian

好久没看到过高次方程了，刚好在《数学通讯》上看到一个：
求方程$16x^5-20x^3-2x^2+5x+1=0$的全部实数根。

kuing

试有理根可知有 x=1 和 x=-1/2，那因式分解后就剩下三次方程而已，没意思啊

lemondian

我只知道有1，还有一个在-1到0之间，所以至少有3个实根。
@kuing，你写一下过程吧，剩下三个根是什么样的？

kuing

分解为 `(x-1) (2 x+1) (8 x^3+4 x^2-4 x-1) = 0`，对于 `8 x^3+4 x^2-4 x-1 = 0` 代 `x=y-1/6` 变成 `8 y^3-14 y/3-7/27 = 0`，代卡当公式好了，没意思，《数学通讯》质量都变这么差了吗。

ZhuYue286

作换元$x=\cos t$，原方程等价于
\[16\cos^5t-20\cos^3t+5\cos t=2\cos^2t-1\]
显然有
\[\rm{LHS}=\cos 5t\]
\[\rm{RHS}=\cos 2t\]
那么只需取 $t=0,\frac{2\pi}{3},\frac{2\pi}{7},\frac{8\pi}{7},\frac{10\pi}{7}$带入即可.

hbghlyj

$ 8 x^3+4 x^2-4 x-1$的判别式是平方数！
$$3136=56^2$$
所以$\operatorname{Gal}(16x^5-20x^3-2x^2+5x+1)=\operatorname{Gal}(8 x^3+4 x^2-4 x-1) =A_3=C_3$

kuing

ZhuYue286 发表于 2024-4-24 23:30
作换元$x=\cos t$，原方程等价于
\[16\cos^5t-20\cos^3t+5\cos t=2\cos^2t-1\]
显然有

噢，原来是用三角出嘀，这样的话还有忆点意思……

这也提醒我了，4# 分解出的 `8 x^3 + 4 x^2 - 4 x - 1 = 0` 刚才就感觉有点眼熟，但没细想……
现在回想起，确实遇到过，比如在 kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=8917&page=1#pid44886 ，我就写过“方程 `t^3+t^2-2t-1=0` 的三根为 `2\cos(2\pi/7)`, `2\cos(4\pi/7)`, `2\cos(6\pi/7)`”……

仿照那里，在这里就可以令 `x=(y+1/y)/2`，则 `8 x^3 + 4 x^2 - 4 x - 1 = 0 \iff 1 + y + y^2 + y^3 + y^4 + y^5 + y^6 = 0`……