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kuing
Posted at 2024-4-25 22:48:15
那就要了解条件期望和全期望公式啥的，参考链接：
zhuanlan.zhihu.com/p/417592820
我也是前几天才了解，以下写法不知标准否。
记 `Y =` 首次连续两次成功时的试验总次数。
事件 `Z` 有以下 `A`, `B`, `C` 三种取值：
`A =` 第一次失败
`B =` 第一次成功但第二次失败
`C =` 第一次成功且第二次也成功
则根据全期望公式有
\begin{align*}
E(Y) &= E(E(Y\mid Z)) \\
&= P(Z=A)E(Y\mid A) + P(Z=B)E(Y\mid B) + P(Z=C)E(Y\mid C),
\end{align*}
根据题中的分析，有
\begin{align*}
E(Y\mid A) &= E(Y) + 1,\\
E(Y\mid B) &= E(Y) + 2,\\
E(Y\mid C) &= 2,
\end{align*}
所以
\[E(Y) = (1-p)(E(Y) + 1) + p(1-p)(E(Y) + 2) + 2p^2,\]
解得 `E(Y)=(1+p)/p^2`。
最后一问连续 `n` 次的话，是
\[E_n = (1-p)(E_n + 1) + p(1-p)(E_n + 2) + p^2(1-p)(E_n + 3) + \cdots + p^{n-1}(1-p)(E_n + n) + np^n,\]
解得
\[E_n=\frac{p^n-1}{p^n(p-1)}=\frac1p+\frac1{p^2}+\cdots+\frac1{p^n}.\] |
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lemondian
Posted at 2024-5-19 12:03:26
