$S^3$分为2个实心圆环

hbghlyj

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In fact, the Clifford torus divides this 3-sphere into two congruent solid tori (see Heegaard splitting)

$S^3=\{(z,w)\in  \mathbb{C}: |z|^2 +|w|^2=2\}$的子集$V_1=\{(z,w)\in  S^3: |z|\geq |w|\}$是一个实心圆环。为什么？

$V_1$的边界$=\{(z,w)\in  S^3: |z|=|w|\}$，显然是一个面积为$(\pi({\tfrac {1}{\sqrt {2}}})^2)^2$的圆环表面。
${\tfrac {1}{\sqrt {2}}}S^{1}\times {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}S^{1}=\left\{\left.{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(\cos \theta ,\sin \theta ,\cos \varphi ,\sin \varphi )\,\right|\,0\leq \theta <2\pi ,0\leq \varphi <2\pi \right\}.$


$V_1$可以写成
$\left\{\left.{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(|z|\cos \theta ,|z|\sin \theta ,|w|\cos \varphi ,|w|\sin \varphi )\,\right|\,0\leq \theta <2\pi ,0\leq \varphi <2\pi,1\ge|z|\ge|w|\ge0,|z|^2+|w|^2=1 \right\}.$

那怎样说明$V_1$是实心圆环？

Czhang271828

把条件
$$
1\geq |z|\geq |w|\geq 0\quad \text{and}\quad |z|^2+|w|^2=1
$$
替换成
$$
|z|=1\quad\text{and} \quad 1\geq |w|\geq 0
$$
即可. 这一变换是同胚的, 因为该变换的实质是
$$
(\cos\alpha,\sin\alpha)\mapsto (1,\tan\alpha),\quad \alpha\in [0,\pi/4].
$$

hbghlyj

这个环面
\[\tag2
x_1^2+x_2^2=\frac{1}{2}=x_3^2+x_4^2
\]
是3-球面中嵌入的极小曲面的一个例子，称为Clifford环面。正如有许多赤道——实际上是一个三维空间——有一个四维的Clifford环面空间，通过在$\mathbb{R}^4$上作用于保持$S^3$及其度量并移动Clifford环面的六维群$O(4)$从(2)中获得。

Lawson猜想：任何嵌入在3-球面中的极小环面都是Clifford环面。

猜想中的嵌入性是重要的，因为存在无限多的浸入极小环面[2]。该猜想是Lawson在35年前提出的，源于他在$S^3$中构造极小曲面[3]。它作为猜想发表在Yau的综述[7]和该会议的问题部分。

这个问题的一个吸引人的方面，更广泛地说，是研究$S^3$中的极小曲面，它允许不同的方法（尽管人们可能会觉得一个未解决的问题到目前为止允许的很少）。它可以使用PDE、Morse理论、黎曼曲面和光滑拓扑来研究。

PDE出现是因为，正如人们可能预期的那样，局部最小化面积的概念可以用微分表达，换句话说，在曲面每个点的导数方面表达。（我们稍微改变视角，认为曲面映射到$S^3$而不是简单地生活在$S^3$内。）从这个角度来看，极小曲面是平均曲率消失的曲面，平均曲率——由主曲率之和给出——是映射所满足的二阶非线性PDE。例如参见[6]，您还可以阅读相关的Willmore猜想。

Morse理论将流形的拓扑与流形上函数的临界点联系起来。人们可以从更容易获得的临界点信息中推导出关于流形的拓扑信息，或者相反，信息可能会反过来。考虑$S^3$中嵌入环面的无限维空间，以及由面积给出的该空间上的函数。极小曲面是面积函数的临界点，极小曲面的存在及其局部性质可以从使用同伦理论研究的嵌入环面空间的拓扑知识中推导出来。例如参见[4]。

Hitchin[1]表明，$S^3$上的环面的调和映射，其中极小环面是例子，可以用双曲黎曼曲面来研究。事实上，一个调和映射可以通过配备线丛、两个亚纯微分和对其周期的约束的双曲黎曼曲面完全确定——这些是经典黎曼曲面研究中的对象。当双曲曲线的种数小于2且大于5时，Lawson猜想被证明。

任何两个相切的极小曲面必须在鞍点相遇。这被称为极小曲面的最大原理。它使用PDE，但一旦结果已知，人们可以不使用PDE进行工作。因此，如果拓扑比几何更合您的口味，人们可以简单地研究$S^3$中光滑嵌入的环面，这些环面在鞍点与大球面和Clifford环面相遇，而不提及平均曲率消失。嵌入极小环面的任何一点的切平面都与唯一的大二球面相切，因此对该球面是鞍点，并且与一维的Clifford环面族相切，并且对每个环面也是鞍点。有关此类论证的示例，请参见[5]。

Clifford环面是平坦的，因为它（几何上）是两个圆的乘积。Lawson猜想对于平坦环面是成立的，这里我们指的是嵌入环面上的诱导度量。在其他特殊情况下也已被证明。当极小嵌入环面具有额外的对称性时，例如它相对于圆作用或各种有限群是对称的，并且它是对Yau猜想的肯定回答的结果，该猜想将极小曲面上的拉普拉斯算子的第一个特征函数与其嵌入联系起来。

References
[1] N.J. Hitchin, Harmonic maps from a 2-torus to the 3-sphere, J. Differential Geom. 31 (1990), 627–710.
[2] W.-Y. Hsiang and H.B. Lawson Jr., Minimal submanifolds of low cohomogeneity, J. Differential Geom.
5 (1971), 1–38.
[3] H.B. Lawson Jr., Complete minimal surfaces in S3, Ann. of Math. (2) 92 (1970), 335–374.
[4] J.T. Pitts and J.H. Rubinstein, Applications of minimax to minimal surfaces and the topology of 3-
manifolds, Miniconference on geometry and partial differential equations, 2 (Canberra, 1986), 137–170,
Proc. Centre Math. Anal. Aust. Nat. Univ., 12, Aust. Nat. Univ., Canberra, 1987.
[5] A. Ros, A two-piece property for compact minimal surfaces in a three-sphere, Indiana Univ. Math. J.
44 (1995), 841–849.
[6] T.J. Willmore, Riemannian geometry (Oxford University Press New York 1993).
[7] S.T. Yau, Survey on partial differential equations in differential geometry, Seminar on differential
geometry, Annals of Math Studies 102 (1982), 3-71.