数列 $a_1=a_2=1,a_n=\frac{a^2_{n-1}+2}{a_{n-2}}$

isee

提问

已知$a_1=a_2=1,a_n=\dfrac{a^2_{n-1}+2}{a_{n-2}}(n \geqslant 3)$。
证明：数列$\{a_n\}$中的一切项都是整数。

Tesla35

这题居然会做。。
方法先猜后证。
计算出数列前几项：1,1,3,11,41,153，……
猜测$\{a_n\}$有递推式：$a_{n+2}=pa_{n+1}+qa_n$
当$n=1,2$时有
$3=p+q$
$11=3p+q$
解得：$p=4,q=-1$
因此应该有：$a_{n+2}=4a_{n+1}-a_n$
下面再使用数归证明即可。
最后易说明数列各项均是整数.

kuing

回复 2# Tesla35

居然能求通项这么牛笔……

isee

有人愿意具体数归一下么？

其妙

和东南题目有联系

kuing

回复 5# 其妙

give a link……

零定义

回复 2# Tesla35
灰常的漂亮！我想过用数论去弄，但杯具了…学习了，增见识了…
回复 4# isee
这个归纳很简单的咧

nash

东南的那道题比这个要难
证明平方数的
方法和这个类似吧

kuing

回复 8# nash

你这么一写我又感觉好像在哪见过……

Tesla35

再贴一题，2013年中科大数学夏令营

数列$\{a_n\}$的定义是:$a_1=1,a_2=1,a_3=2,a_{n+3}=\frac{a_{n+1}a_{n+2}+7}{a_n},n＞0$.证明:该数列中的项都是正整数.
PS:猜测肯定可以写成线性的

地狱的死灵

回复 10# Tesla35


    还是用皮蛋老师的方法：

$\begin{array}{l}
a_{n + 3} a_n  = a_{n + 1} a_{n + 2}  + 7 \\
a_{n + 2} a_{n - 1}  = a_n a_{n + 1}  + 7 \\
a_{n + 3} a_n  - a_{n + 2} a_{n - 1}  = a_{n + 1} a_{n + 2}  - a_n a_{n + 1}  \\
a_n (a_{n + 3}  + a_{n + 1} ) = a_{n + 2} (a_{n + 1}  + a_{n - 1} ) \\
\end{array}$

n为偶数时，$\frac{{a_{n + 3}  + a_{n + 1} }}{{a_{n + 2} }} = \frac{a_3  + a_1 }{a_2 } = 3$
n为奇数时，$\frac{{a_{n + 3}  + a_{n + 1} }}{{a_{n + 2} }} = \frac{a_4  + a_2 }{a_3 } = 5$

Tesla35

回复 11# 地狱的死灵


    为何叫皮蛋？

isee

东南的那道题比这个要难
证明平方数的
方法和这个类似吧
nash 发表于 2013-8-22 18:35

向诸位学习了。

其妙

回复  其妙

give a link……
kuing 发表于 2013-8-22 16:41

kuing

回复 14# 其妙

thank you
第一题还是前两天发过的呢

其妙

回复 15# kuing
再来个第二天的
都没的答案的，郁闷