不等式证明

guanmo1

$a_i>0, \prod_{i=1}^n a_i=1$, 求证: $2 \sum_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt[3]{a_i^2+7 a_i}} \geq n$.

kuing

\[f(x)=\frac 1{\sqrt[3]{e^{2x}+7e^x}}\]
在 `\Bbb R` 内下凸，Jensen 完事。

guanmo1

kuing 发表于 2024-7-17 23:13
\[f(x)=\frac 1{\sqrt[3]{e^{2x}+7e^x}}\]
在 `\Bbb R` 内下凸，Jensen 完事。

有无其它办法？感觉用均值会放过了。

ic_Mivoya

只需证明以下不等式：
$$\dfrac2{\sqrt[3]{x^2+7x}}\geqslant -\dfrac38\ln x+1\tag{$*$}$$
再分别取 $x=a_1,a_2,\cdots,a_n$ 并求和，即得待证结论。


要证 $(*)$ 式成立，只需证
$$\underbrace{\left(-\dfrac38\ln x+1\right)^3(x^2+7x)}_{f(x)}\leqslant8$$
考察左式导数：
$$\begin{aligned}
f'(x)&=3\left(-\dfrac38\ln x+1\right)^2\left(-\dfrac3{8x}\right)(x^2+7x)+\left(-\dfrac38\ln x+1\right)^3(2x+7)\\
&=\dfrac18\left(-\dfrac38\ln x+1\right)^2\underbrace{[-9(x+7)+(2x+7)(-3\ln x+8)]}_{g(x)}
\end{aligned}$$
易知 $g(1)=0$ 且 $g(x)$ 单调减。
分析可得 $f(x)$ 有最大值 $f(1)=8$，证毕。

guanmo1

ic_Mivoya 发表于 2024-7-18 12:07
只需证明以下不等式：
$$\dfrac2{\sqrt[3]{x^2+7x}}\geqslant -\dfrac38\ln x+1\tag{$*$}$$
再分别取 $x=a_ ...

   系数-3/8怎么得来的，在g（x）导函数那里待定系数吗？

ic_Mivoya

实际上这可以理解为切线放缩：$y=\dfrac2{\sqrt[3]{e^{2x}+7e^x}}$ 在 $x=1$ 处的切线是 $y=-\dfrac38x+1$。

guanmo1

ic_Mivoya 发表于 2024-7-19 23:01
实际上这可以理解为切线放缩：$y=\dfrac2{\sqrt[3]{e^{2x}+7e^x}}$ 在 $x=1$ 处的切线是 $y=-\dfrac38x+1$ ...