线段端点分别在两个凸图形中移动，求线段中点构成的图形的周长。

abababa

平面上有两个凸图形$F_1,F_2$，周长分别为$a_1,a_2$。点$P_1\in F_1, P_2\in F_2$，点$P$是线段$P_1P_2$的中点，当点$P_1,P_2$分别取遍$F_1,F_2$中的所有点时，点$P$形成的图形为$F$，求$F$的周长。

猜测$F$也是凸的，周长是$\frac{a_1+a_2}{2}$，具体怎么证明呢？

我记得本论坛还有一个面积的题，两个凸图形分别是一个正方形和一个圆，求中点的面积。这个求面积的，有什么一般的结论吗？

kuing

我记得本论坛还有一个面积的题，两个凸图形分别是一个正方形和一个圆，求中点的面积。

kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=3686

abababa

kuing 发表于 2024-7-22 17:18
https://kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=3686

原来如此，看来面积的话，最好的情况是不等式形式的，没有什么一般的等式结论。

abababa

如果退一步，$F_1,F_2$不仅是凸图形，还是凸多边形，这时能证明关于周长的问题吗？我画了几个特殊情况的，画的这几个都正确。

abababa

$F$是凸的好证明，以下的单个字母既表示点的名称，也表示这点的直角坐标向量$(x,y)$。
对任意的$M,N\in F$，由于$M,N$都是某条线段的中点，因此可设$M=\frac{1}{2}(M_1+M_2),N=\frac{1}{2}(N_1+N_2)$，其中$M_1,N_1\in F_1, M_2,N_2\in F_2$，于是对任意的$P\in MN$，可设$P=tM+(1-t)N,(0\le t\le1)$，所以$P=\frac{t}{2}(M_1+M_2)+\frac{1-t}{2}(N_1+N_2)=\frac{1}{2}[(tM_1+(1-t)N_1)+(tM_2+(1-t)N_2)]$，而由$F_1,F_2$是凸集，这样的话就有$(tM_1+(1-t)N_1)\in F_1,(tM_2+(1-t)N_2)\in F_2$，由$F$的定义可知$P\in F$，由$M,N$的任意性可得$F$是凸图形。