不同角度的四面体的面的反射

hbghlyj

最近在wiki上看到关于正多面体的介绍，n 维正多面体的分类是用考克斯特群的方法解决的，感觉非常神奇
比如一个四面体有 4 个面，可以看作 4 个镜子，我们考虑这些面的反射的关系
根据四面体的不同角度，它们形成不同的考克斯特群，

这些 $\widetilde{C}_3,\widetilde{B}_3,\widetilde{A}_3$ 是一些半正定图（但不是正定）。请参阅：highschool primes materials 2024 p17

hbghlyj

1#图像很模糊，我尝试用 svg 重新制作第一列的 Coxeter 图

这些点是四面体的面，我们计算每对面之间的角度 $π/k$。如果 $k>2$，则用线段连接它们；如果 $k>3$，则标记数字 $k$.（如果 $k=2$，则两个平面垂直，因此两个反射可以交换，所以我们不连接这两个点。）
两次平面反射的乘积是一次旋转：给定两个以 $π/k$ 角相交的平面，这两个平面的反射的乘积是 $2π/k$ 的旋转，其阶数为 $k$.
数字 $4,3,4$ 表示旋转阶数，因此 $4,3,4$ 对应角度 $2\pi/4,2\pi/3,2\pi/4$ 的旋转，因此 $4,3,4$ 对应以 $\pi/4,\pi/3,\pi/4$ 角相交的平面.

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四面体的顶点标记为0123，(第一列的四面体)平面 123 和 023 以 $π/4$ 的角度相交，平面 023 和 013 以 $π/3$ 的角度相交，平面 013 和 012 以 $π/4$ 的角度相交。

$$π/4$$	$$π/3$$	$$π/4$$

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正 n−1 维单形
n 个面在考克斯特图中表示为 n 个点
对称群 A_n−1 = Sym_n 关于生成元 (12), (23),...,(n−1,n) 的图为

还有许多其他反射群

阅读Mirrors and Reflections: The Geometry of Finite Reflection Groups的第16章

它似乎归结为一个positive definite图论问题。

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-9-9 19:25
它似乎归结为一个positive definite图论问题。

也可以看看
Reflection Groups and Invariant Theory >> Chapter 7: Bilinear forms of Coxeter systems

The main result of this chapter is that the bilinear form associated to a Coxeter system is always positive definite. In Chapter 8, we shall use the positive definiteness of this bilinear form to classify both finite Coxeter systems and finite Euclidean reflection groups.

示例：$A_4$ 的矩阵
$\left(\begin{array}{cccc}1 & -\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 1 & -\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2} & 1 & -\frac{1}{2} \\ 0 & 0 & -\frac{1}{2} & 1\end{array}\right)$

也可以看看 MIT primes 演讲幻灯片 math.mit.edu/research/highschool/primes/materials/2024/YD/Tolmachov_s%20group.pdf

Notice that Coxeter graph is positive definite since it represents the Gramm matrix of the corresponding bilinear form in the euclidean space.

hbghlyj

p10

Corollary
If ∆ is a simple system in Φ, then (α,β) ≤ 0 for all α ≠ β in ∆.

为什么 $(α,β) ≤ 0$？我不明白
这是否意味着 ∆ 中任意两个向量之间的角度≥ 90°

Czhang271828

hbghlyj 发表于 2024-9-10 05:04
p10

为什么 $(α,β) ≤ 0$？我不明白

假定 $(\alpha,\beta)>0$, 则 $(\alpha-\beta)$ 或者 $(\beta-\alpha)$ 属于正向根系. 不妨设 $(\alpha-\beta)$ 属于正向根系. 此时有严格的 $\alpha>(\alpha-\beta)>0$, 与 $\alpha$ 是单根矛盾.

hbghlyj

Czhang271828 发表于 2024-9-12 11:34
假定 $(\alpha,\beta)>0$, 则 $(\alpha-\beta)$ 或者 $(\beta-\alpha)$ 属于正向根系.

我不知道如何证明这句话，但在这本书中发现了同样的内容

hbghlyj

\(α\) 和 \(β\) 之间的角度 \(θ ∈ \{0, π, π/2, π/3, 2π/3, π/4, 3π/4, π/6, 5π/6\}\)，如果是钝角，则 \(θ ∈ \{2π /3, 3π/4, 5π/6\}\)。接下来该怎么办？

Czhang271828

hbghlyj 发表于 2024-9-15 11:06
\(α\) 和 \(β\) 之间的角度 \(θ ∈ \{0, π, π/2, π/3, 2π/3, π/4, 3π/4, π/6, 5π/6\}\)，如果是 ...

几个问题.
(1) 幻灯片没有引用. 不过可以找到其紧密关联的文章.
(2) 名词问题. Root system 一般指 Lie 代数的根系, 而上述讲的是有限反射群的根系. Lie 代数的根系多了一个要求: $2(\alpha,\beta)/(\alpha,\alpha)\in \mathbb Z$. 例如一般的二面体群就不属于 Lie 代数根系的讨论范围了.
(3) 关于以上命题的推演顺序. 可以直截了当地从 Coxeter 群的表示入手, 推导出其他结论, 例如此文. 系统的理论见 GTM99 (Finite Reflection Groups).

hbghlyj

也可以看看
web.math.ucsb.edu/~jon.mccammond/slides/07-marseille-day1.pdf

hbghlyj

Czhang271828 发表于 2024-9-15 06:03
可以直截了当地从 Coxeter 群的表示入手, 推导出其他结论,

刚才我在MSE问了一道题，下面有回答是这样的：

Let `x3o3o..o3o4o` ($n$ nodes) be the $n$-D Coxeter-Dynkin diagram of the according regular cross-polytope or orthoplex. Then clearly `x3o3o...o3o .` ($n-1$ nodes) is the $(n-1)$-D Coxeter-Dynkin diagram of its (all equivalent) facets, then each being according regular simplices.

Note further that the opposite facet here generally happens to be a dually arranged simplex. As a Coxeter-Dynkin diagram this is just `o3o3o...o3x` (again $n-1$ nodes).

Further those two opposite facets (as bases) are connected by further simplexes (as sides), thus generalising the structure of an antiprism.

Esp. the facet parallel cross-section of the orthoplex then is given by `y3o3o...o3z` (still $n-1$ nodes), where those two edge sizes are related to the former by $z=x-y$.

And these extremally expanded simplexes `x3o3o...o3x` ($n-1$ nodes) generally do have $n!/(n-3)!$ edges, i.e. the here half-symmetric variant `y3o3o...o3z` would have $\frac12 n!/(n-3)!$ edges of size $y$ plus $\frac12 n!/(n-3)!$ edges of size $z=x-y$. This in turn makes clear that the total sum of edge length (in units of length $x$) is just $\frac12 n!/(n-3)!$, independent of sectioning depth (as long as neither $y$ nor $z$ are degenerate).

In contrast, the edge count of the regular $(n-1)$-D simplex `x3o3o...o3o`, i.e. the facet of the orthoplex, clearly is $\frac12 n!/(n-2)!$.

我不明白他是如何从 Coxeter 群得到 $z=x-y$ 的？
$\frac12 n!/(n-3)!$ 又是从何而来呢？

hbghlyj

学生习作：

WEEK #	PROJECT ASSIGNMENTS	SAMPLE PROJECTS
8	Project 1: Reflections in a Euclidean Space (TEX) (PS) (PDF)	Project 1 by Philip Brocoum (PDF) (Courtesy of Philip Brocoum. Used with permission.)
9	Project 2: Abstract Root Systems (TEX) (PS) (PDF)	Project 2 by Matthew Herman (PDF) (Courtesy of Matthew Herman. Used with permission.)
10	Project 3: Simple and Positive Roots (TEX) (PS) (PDF)	Project 3 by Juha Valkama (PDF) (Courtesy of Juha Valkama. Used with permission.)
12	Project 4: Properties of Simple Roots (TEX) (PS) (PDF)	Project 4 by Eric Broder (PDF) (Courtesy of Eric Broder. Used with permission.)
13	Project 5: Cartan Matrix of a Root System (TEX) (PS) (PDF)	Project 5 by Thomas Covert (PDF) (Courtesy of Thomas Covert. Used with permission.)
14	Project 6: Dynkin Diagrams and Classification (TEX) (PS) (PDF)	Project 6 not yet available