长度固定的绳子经过曲线上一点，末端与轨迹正交

hbghlyj

折綫 $F_1G P$ 长度固定而 $P$ 沿着曲线 $p$ 移动。
在每个位置 $P$ 处，折綫 $F_1G P$ 是从 $F_1$ 经过曲綫上一点 $G \in c$ 到 $P$ 的最短路程。
因为 $P$ 沿着 $p$ 移动，这样 $G$ 就沿着 $c$ 移动。
则在每个位置 $P$ 处，曲线 $p$ 都与 $GP$ 正交。

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-9-21 03:43
折綫 $F_1G P$ 是从 $F_1$ 经过曲綫上一点 $G \in c$ 到 $P$ 的最短路程。

有一个等价的表述：
一根长度固定的绳子，其一端固定在 $F_1$，绳子中间沿着曲线 $c$ 弯折，而绳子另一端 $P$ 沿着曲线 $p$ 移动。则在每个位置 $P$ 处，曲线 $p$ 都与绳子末端正交。

hbghlyj

kuing

标签错了，没有立体。

最短路程，意思是说那折线是 `G` 对 `c` 的切线的光反射是吗？

那就很显然了，如下图：

作 `GP` 关于切线的对称线段 `GQ`，则 `Q` 在一个定圆上。
那运动时 `Q` 的速度 `v_Q\perp GQ`，由于 `GP`, `GQ` 关于切线对称，则 `P` 的速度 `v_P` 与 `v_Q` 也关于切线对称，由此可知 `v_P\perp GP`，所以 `GP` 当然与 `P` 的轨迹正交了。

hbghlyj

kuing 发表于 2024-9-21 06:03
最短路程，意思是说那折线是 `G` 对 `c` 的切线的光反射是吗？

它们是等价的，证明见 forum.php?mod=viewthread&tid=12744
可以想象当绳索的一端 $F_1$ 固定，另一端 $P$ 移动時，时时保持绳索绷紧，绳索的弯折点 $G$ 就沿着 $c$ 移动。