请教一个函数构造的问题。

harryzzy

详见图片。
感谢各位，帮帮忙，提供思路或者直接给出一个好的办法。

harryzzy

我目前的认识是对于该问题：如何恰当的定义函数之间的距离以及角度很重要。

战巡

没看懂，至少对于一元函数，这看起来不大可能

我建议你把原问题发上来，别自己瞎想搞这么抽象的问题

hbghlyj

harryzzy 发表于 2024-9-26 08:47
如何恰当的定义函数之间的距离以及角度很重要。

en.wikipedia.org/wiki/Function_space#Norm

harryzzy

战巡 发表于 2024-9-26 20:59
没看懂，至少对于一元函数，这看起来不大可能

我建议你把原问题发上来，别自己瞎想搞这么抽象的问题

你好战巡。还有您下面的楼主hbghlyj，我都只到。因为我之前的问题就是你们帮着解答的。
你说几乎不能实现，是从哪个角度来说的？我不是数学专业出身，表述问题很可能有不严谨的地方。我做地震研究的，是实际工作中抽象出来的数学问题。我将原问题放上来，如有哪里说的不清楚，请支出，我进一步的细化和明确。

harryzzy

hbghlyj 发表于 2024-9-26 22:24
https://en.wikipedia.org/wiki/Function_space#Norm

你好。谢谢。是函数空间的相关内容。
我将原问题放上来了。如有问题请支出，我进一步的细化和明确。谢谢

hbghlyj

harryzzy 发表于 2024-9-27 00:11
并且夹角如何定义?...

在内积空间中，两个元素 $u,v∈V$ 的夹角定义为 $θ$ 满足：$\cosθ=\dfrac{⟨v,u⟩}{‖v‖‖u‖}$ 其中 $0≤θ≤π$.

hbghlyj

harryzzy 发表于 2024-9-27 00:11
比如: 尝试将 $g_i(x)$ 与 $f(x)$ 的距离定义为:$$\int_0^{\infty}\left(g_i(x)-f(x)\right)^2 d x$$...

这似乎是指L^2-Space with the L^2-Inner Product

hbghlyj

harryzzy 发表于 2024-9-26 08:34
详见图片。

本站建议使用 LaTeX 公式，在 MathType 中创建的公式可以转换为 LaTeX，而无需重新输入。

请参见下面 MathType 屏幕截图中的“Toggle TeX”按钮：

战巡

harryzzy 发表于 2024-9-27 08:08
你好战巡。还有您下面的楼主hbghlyj，我都只到。因为我之前的问题就是你们帮着解答的。
你说几乎不能实现 ...

我不建议你去定义“角度”这个东西，会非常麻烦

假设函数$f(x),g(x)$，定义域均为$x\in[a,b]$
现有的函数距离，有几种常用的定义：

1、积分距离
\[d(f,g)=\sqrt{\int_a^b[f(x)-g(x)]^2dx}\]
就是你定义的那个东西，只不过最好不要走到无穷大去，万一不收敛就不好玩了，没法比较了
虽然理论上函数的定义域可以到无穷大，但在实际科研、工作中是不可能的，你们的数据也是有范围的，就按你们的数据范围来设定$[a,b]$就行了，这种事我们也经常干
要知道，超出数据范围以外的地方，你的拟合是没有任何保障的，大概率出错

2、最大距离
\[d(f,g)=\max(|f(x)-g(x)|)\]
即测量两个函数差异最大处的距离
别的地方我不太清楚，我们统计学上在比较两个分布的接近程度时，可以通过计算两个分布的累积分布函数的最大差异来判断，这种方法叫做Kolmogorov-Smirnov检验

3、如果f,g都是恒正的函数（或者非正的部分，其集合的勒贝格测度为0），可以考虑KL散度（Kullback-Leibler Divergence）
\[KL(f||g)=\int_a^bf(x)\ln(\frac{f(x)}{g(x)})dx\]
统计学上也经常用这个东西测量两个分布的接近程度，它同样可以用到其他函数的距离测量上



最后好奇一下，你们之前常用的所谓“相关系数”是怎么回事？哪种相关系数？就皮尔逊线性相关系数么？
如果是皮尔逊线性相关系数，那它只表示两个函数的线性相关程度，举个极端的例子：如果$g(x)=2f(x)$，那两者相关为$1$，然而很显然$g(x)$和$f(x)$会越走越远

harryzzy

感谢战巡，hbghlyj，你们给出的解答我再好好看看。
与数学研究不同，我们的工作都可以说是在“物理学”这个话事人下面的小弟，比如我们这个学科是“地球物理”再下面的一个学科。但不管是什么学科，核心创新点
最后都要回到数学上，但对于数学的严谨性的表述，我们确实一时半会很难做到。
我们是要用数学来解决实际的问题，这种问题导向性是很强的。
总之感谢二位，你们我都知道。你们回帖我再好好看看，研究研究，感谢感谢。

战巡

harryzzy 发表于 2024-9-27 16:00
感谢战巡，hbghlyj，你们给出的解答我再好好看看。
与数学研究不同，我们的工作都可以说是在“物理学”这个 ...

我还不是纯粹的数学专业，我是搞统计的

统计学正是那种将数学用于解决实际问题的学科

实际上数学也好统计也好，老早就开发过很多用于解决实际问题的方法，只是可能你们不是这个专业的不知道有这些东西存在，毕竟隔行如隔山，你们自己闷头想不出来的东西，可能对其他专业只是个基础问题
所以回到我第一条回帖的主旨，就是说你们遇到问题的时候最好先把原题摆出来，让大家看看是不是已经存在可以解决此类问题的方法，而不要自己闷头去开发新方法
如果找不到已有的方法，那再想办法自行开发

就比如你这个问题，看起来就像是一个函数拟合的问题，这种问题在数学上、统计上挺常见的，包括具体如何计算、如何检验拟合的好坏、如何比较各种拟合的优劣等，早就有很多办法了

我们搞统计的很多时候除了给别人分析数据，就是开发新的统计方法，这个过程非常繁琐而缓慢，需要理论构建、推导，然后计算机数值模拟，然后找实例验证，这本身可能都足以发好几篇论文