一个正方形可以分解成x个子正方形，如何求x的解集？

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各个子正方形可以大小不一

abababa

$x=4$显然，$x=5$不行：假设边长为$a$的正方形$P$能分为边长分别为$a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$的正方形$P_1, P_2, P_3, P_4, P_5$。由于$P$的四个顶点$ABCD$都为直角顶点，所以必分别属于$4$个小正方形，不妨设分别属于$P_1, P_2, P_3, P_4$。

若$P_5$的所有边都在$P$内部，则$P$的每条边恰被分为两个小正方形的边，于是$a_1+a_2=a_2+a_3=a_3+a_4=a_4+a_1=a$，于是有$a_3=a_1, a_4=a_2, a=a_1+a_2$，于是$P_5$的面积为$a^2-(a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2)=-(a_1-a_2)^2\le0$，矛盾。

若$P_5$有一边落在$P$的一边$AB$上，则有$a_1+a_2<a, a_2+a_3=a_3+a_4=a_4+a_1=a$，于是$a_1+a_2=(a_1+a_4)+(a_2+a_3)-(a_3+a_4)=a$，与$a_1+a_2<a$矛盾。

所以正方形不能分割为$5$个正方形。

$x=6,7,8$，如图：


$x>8$都可以：假设存在$n>8$使得大正方形不可分割为$n$个小正方形，设$n_0$是其中最小的数，显然$n_0\ge9$，由$n_0$的取法知正方形能分割为$n_0-3$个小正方形，此时从$n_0-3$个小正方形中取出一个，将它分为$4$个小正方形，则此时大正方形共分为$(n_0-3)-1+4=n_0$个小正方形，这与大正方形不能分割为$n_0$个小正方形矛盾，因此不存在$n>8$使得大正方形不可分割为$n$个小正方形。