抛物线不同于其它二次曲线吗？在复仿射下

hbghlyj

kuing 发表于 2018-7-26 14:27
所以中心轨迹虽然一定是二次曲线但它不会是抛物线。

从这里我发生一个疑问，抛物线不同于其它二次曲线吗？
例如在复仿射$(x,y)\mapsto(x,iy)$下，椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$可以变为双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，但椭圆在复仿射下无法变为抛物线，是吗？

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-10-13 14:12
椭圆在复仿射下无法变为抛物线

复仿射的一般形式是$(x,y)\mapsto(a x + b y + c,d x + e y + f)$，其中$a,b,c,d,e,f\inC$.
$x^2+y^2=1$是圆。
$x^2+y^2$就会变为$(a x + b y + c)^2 + (d x + e y + f)^2$

计算$$B^2-4AC=(2 a b+2 d e)^2-4 \left(a^2+d^2\right) \left(b^2+e^2\right)=-4 (a e-b d)^2$$所以当$B^2-4AC=0$时必有$ae-bd=0$，此时复仿射是退化的，会把椭圆拍扁成为直线。

总之，椭圆在复仿射下无法变为(非退化的)抛物线。

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-10-13 14:12
椭圆在复仿射下无法变为抛物线

还有一个更简单的证法：
抛物线和无穷远线（即齐次坐标下的$z=0$）只有1个交点（即它的对称轴方向），而其他的二次曲线都是和无穷远线有2个不同的复交点（对于椭圆是两个虚焦点，对于双曲线是两个实交点，即它的两个渐近线方向）。
另一方面，复仿射总是保持无穷远线不变，而且保持曲线的交点个数，所以椭圆在复仿射下无法变为抛物线.

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-10-13 14:12
椭圆在复仿射下无法变为抛物线

越来越大的椭圆有可能趋向于抛物线。
考虑以 $b$ ($\ge1$) 为参数的椭圆族$\frac{\left(b \sqrt{b^2-1}+x\right)^2}{b^4}+\frac{y^2}{b^2}=1$,解得$$|y|=\sqrt{-\frac{x^2}{b^2}-\frac{2 \sqrt{b^2-1} x}{b}+1}$$所以当$b\to\infty$时$|y|=\sqrt{1-2x}$,曲线为抛物线.

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-10-13 14:58
越来越大的椭圆有可能趋向于抛物线。
考虑以 $b$ 为参数的椭圆族 ...

这与上述事实“椭圆在复仿射下无法变为抛物线”并不矛盾，原因相当微妙：
继续上面的椭圆族的例子，以 $b$ 为参数的仿射变换$(x,y)\mapsto(b^2x-b\sqrt{b^2-1},by)$
我们将这个仿射变换应用于 $x^2+y^2=1$ 并得到椭圆 $\frac{\left(b \sqrt{b^2-1}+x\right)^2}{b^4}+\frac{y^2}{b^2}=1$
如果我们观察同一个点，在极限下，这个仿射变换会把点($y\ne0$)送到无穷远处。但我们观察的是一个点而不是观察整个椭圆。即使每一个点都映射到无穷远处，但每次整个椭圆都映射到一个椭圆，最终趋向于抛物线。

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-10-13 14:12
椭圆在复仿射下无法变为抛物线

抛物线比椭圆具有更多的仿射对称性，所以它不能通过复仿射从椭圆映射而来（因为仿射保持仿射对称性不变）。

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-10-13 15:23
抛物线比椭圆具有更多的仿射对称性，

具体来说，抛物线的仿射对称性具有2个自由参数，而椭圆的仿射对称性只有1个自由参数。
详细计算请参见MSE或这帖.

当椭圆趋向抛物线时，椭圆的全部仿射对称性只会趋于抛物线有0个不动点的那部分仿射对称性（抛物平移），而抛物线的大多数仿射对称性都有1个不动点（此仿射将保持不动点以及此点处的切线不变）。详细计算见此处

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-10-13 15:28
具体来说，抛物线的仿射对称性具有2个自由参数，而椭圆的仿射对称性只有1个自由参数。

双曲线类似于椭圆，其仿射对称性只有1个自由参数，这些“双曲旋转”在物理上称为Lorentz Transformation.
YouTube博主minutephysics制作了机械专门演示它们：Lorentz Transformations | Special Relativity Ch. 3

这个机械的原理很简单，那些点是排列在双曲线轨道上的，所以它们会沿着双曲线走。