Hilbert 曲线在哪些点不是单射？

hbghlyj

希尔伯特曲线Hilbert Curve - 又见苍岚写道：

因为Hilbert 曲线不是单射, 故不存在逆映射. 不能说Hilbert 曲线让直线 ...

问题：Hilbert 曲线在哪些点不是单射？比如 (1/2, 0) 点 令 $I=\bigl\{x\in ℝ\bigm| 0\leqslant x \leqslant 1\bigr\}$，$C=\bigl\{(x,y)\in ℝ^2\bigm| 0\leqslant x \leqslant 1, 0\leqslant y\leqslant 1\bigr\}$，我们按照如下的图像来定义映射 \[f_1\colon I\rightarrow C,\] <ignore_js_op> <img src="data/attachment/forum/202410/28/223106tsbbp7b4gykwakbo.png" alt="842px-MathAnalysis_N17P1.svg[1].png" title="842px-MathAnalysis_N17P1.svg[1].png" /> </ignore_js_op> 我们对每一个小的正方形根据箭头的方向构造同样的映射，以中间这个灰色的为例子，我们要把刚才第一个图中的格子转 $180^\circ$，这样得到下面的图像： <ignore_js_op> <img src="data/attachment/forum/202410/28/223127z5w5ift8uiggzwxi.png" alt="842px-MathAnalysis_N17P2.svg[1].png" title="842px-MathAnalysis_N17P2.svg[1].png" /> </ignore_js_op> 其中，我们把 $I$ 这个线段映射为图中所画的9段折线，折线走的方向如第二个图所示。这样子，我们把 $C$ 分成了 $81$ 个格子，并且构造出一条 $81$ 段的折线： <ignore_js_op> <img src="data/attachment/forum/202410/28/223217ot9ttkvqkcpqqmqj.png" alt="1116px-MathAnalysis_N17P3.svg[1].png" title="1116px-MathAnalysis_N17P3.svg[1].png" /> </ignore_js_op> 上面这个图对应着映射： \[f_2\colon I\rightarrow C,\] 重复上面的操作，我们就得到了一串连续映射： \[f_n\colon I\rightarrow C,\] 其中 $n\geqslant 1$，并且这是一个 $9^{n}$ 段的折线。<br><!-- 按照这些映射的构造方式，我们知道，对任意的 $N\geqslant 1$，对任意的 $n,m\geqslant N$，$f_n$ 和 $f_m$ 都是对 $f_N$ 的每个边长为 $3^{-N}$ 的方块里面进行修改，特别地，对任意的 $x\in I$，我们就知道 $f_n(x)$ 和 $f_m(x)$ 都落在同一个边长为 $3^{-N}$ 的方块里，所以 \[|f_n(x)-f_m(x)|\leqslant \sqrt{2}\cdot 3^{-N},\] 即 \[\|f_n-f_m\|_{L^\infty}\leqslant \sqrt{2}\cdot 3^{-N},\] 这表明 $\{f_n\}_{n\geqslant 1}$ 是 $\Bigl(C(I;ℝ^2),\|\cdot\|_\infty\Bigr)$ 中的Cauchy列，从而存在连续映射 \[f_\infty\colon I\rightarrow C,\] 使得 $\displaystyle f_n\stackrel{C(I;ℝ^2)}{\longrightarrow } f_\infty$。根据 $f_n$ 的构造，对任意的 $p\in C$，$p$ 一定落在 $f_n$ 所对应的 $9^n$ 个小方块中的某一个，所以有 $x\in I$，使得 $p$ 和 $f_n(x)$ 的距离不超过 $\sqrt{2}\cdot 3^{-n}$，据此，我们知道 $f_\infty$ 的像 $f_\infty(I)\subset C$ 是稠密的。由于 $I$ 是紧集，所以它在连续映射下的像是紧的，从而是闭的，再用稠密性，我们就知道 $f_\infty(I)=C$。-->最终，我们得到连续的满射： \[f_\infty\colon I\rightarrow C.\]

hbghlyj

当 (x,y) 落在某两个闭方块的公共边界上时，证明中我们任取其中一个闭方块继续讨论．因此，选择不同闭方块将可能使我们得到不同的 t 值。

但是如何表示这些 t 值不唯一的点呢？例如在 x=1/2 这条线上有很多，在 y=1/2 这条线上也有很多。

处处都不是单射吗？应该会有一些点的 t 值唯一吧？

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-10-28 22:53
选择不同闭方块将可能使我们得到不同的 t 值。

正方形中的一个点最多对应两个 t 值吧？