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谢谢回复 ，补充一下，NA_2023
定理 9.17 (Chebyshev 交错定理) 设函数 $f \in C[a, b]$ 且 $f \notin \mathbb{P}_n[x]$, 则 $p^*$ 是 $f$ 的 $n$次最佳一致逼近多项式的充分必要条件是 $f-p^*$ 在 $[a, b]$ 上存在有 $n+2$ 个点组成的交错点组，即有 $a \leqslant x_0<x_1<\cdots<x_{n+1} \leqslant b$ 使得
$$
f\left(x_i\right)-p^*\left(x_i\right)=(-1)^i \sigma\left\|f-p^*\right\|_{\infty}, \quad i=0,1, \cdots, n+1 .
$$
证明 (充分性) 设 $f-p^*$ 在 $[a, b]$ 上存在有 $n+2$ 个点组成的交错点组 $\left\{x_i\right\}_{i=0}^k \subset \mathcal{L}_M$.用反证法. 如果存在多项式 $p \in \mathbb{P}_n[x]$ 使得条件 (9.28) 成立, 那么 $p$ 显然至少有 $n+1$个零点. 另一方面, 利用代数基本定理知, 次数不超过 $n$ 次的非零多项式 $p$ 至多有 $n$ 零点，矛盾！因此，由定理(9.16)知， $p^*$ 是 $f$ 的最佳一致逼近多项式。
(必要性) 设 $p^*$ 是 $f$ 的最佳一致逼近多项式, 记 $E_n(f)=\left\|f-p^*\right\|_{\infty}$, 因 $f \notin \mathbb{P}_n[x]$,故 $E_n(f)>0$. 用反证法. 设 $f-p^*$ 在 $[a, b]$ 上的任意交错点组为 $\left\{x_i\right\}_{i=0}^k$, 均有 $k \leqslant n$.因此, 存在区间 $[a, b]$ 的一个分割 $\left\{t_i\right\}_{i=0}^{k+1}$, 其中 $t_0=a, t_{k+1}=b$, 使得
$$
S_i=\left\{x \in\left[t_{i-1}, t_i\right]:\left|\left(f-p^*\right)(x)\right|=E_n(f)\right\}, \quad i=1,2, \cdots, k+1,
$$
非空，且函数 $f-p^*$ 在 $S_i$ 上保持符号不变。由于 $f-p^*$ 在相邻 $S_i$ 和 $S_{i+1}$ 上交替取 $\pm E_n(f)$, 故 $\left[t_{i-1}, t_{i+1}\right]$ 上至少存在一个 $f-p^*$ 的零点, 不失一般性, 可以调整 $t_i$ 使得
$$
\left(f-p^*\right)\left(t_i\right)=0, \quad i=1,2, \cdots, k .
$$
由于 $k \leqslant n$, 可构造如下 $k$ 次多项式
$$
p(x)=\sigma \prod_{i=1}^k\left(x-t_i\right) \in \mathbb{P}_n[x]
$$
使得 $p$ 满足条件 (9.28). 而这与定理(9.16)矛盾！因此，假设错误，原命题成立. |
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血狼王
发表于 2024-11-5 00:12
