正方形内一点到2顶点距离之积的最小值问题

12673zf

请教第3问，画了个图应该是C点在正方形外面且靠近E的时候最小，但代数算不出来，几何没想法。

kuing

设 `AB=x`，根据托勒密不等式，有
\begin{align*}
AB\cdot CD+AC\cdot BD&\geqslant BC\cdot AD,\\
AB\cdot CE+BC\cdot AE&\geqslant AC\cdot BE,
\end{align*}
即
\begin{align*}
x\cdot CD+AC\cdot x&\geqslant BC\cdot\sqrt2x,\\
x\cdot CE+BC\cdot x&\geqslant AC\cdot\sqrt2x,
\end{align*}
所以
\begin{align*}
CD&\geqslant\sqrt2BC-AC=4\sqrt2-3,\\
CE&\geqslant\sqrt2AC-BC=3\sqrt2-4,
\end{align*}
当点 `C` 在正方形 `ABDE` 的外接圆上时，以上两式同时取等，即 `CD` 和 `CE` 同时取得最小值，所以也是 `CD\cdot CE` 取最小值之时，下略。

12673zf

kuing 发表于 2024-11-12 12:26
设 `AB=x`，根据托勒密不等式，有
\begin{align*}
AB\cdot CD+AC\cdot BD&\geqslant BC\cdot AD,\\

学习了，没想过居然是同时取最小值所以乘积最小😅