非减函数 f:[a,b]→[a,b] 必有不动点。

hbghlyj

证明任何非减函数 $f:[a,b]→[a,b]$ 必有不动点。

（这里没有要求 $f$ 连续。$f$ 可以不连续。只要求非减函数，即$f(x)\le f(y)\forall x\le y$.）

hbghlyj

考虑 $f:[0,1]\rightarrow [0,1]$。设 $I =[0, a)$ 是使得 $f(x)>x, x \in I$ 的最大半区间。考虑三种情况：

1. $f(a)>a$。在这种情况下 $a \neq 1$。设 $\varepsilon=f(a)-a$ 并设 $I'=[a, a+ \frac\varepsilon2)$。如果 $x \in I'$，则 $f(x) \ge f(a)=a+\varepsilon > x$，矛盾。

2. $f(a)<a$。在这种情况下 $a \neq 0$。设 $\varepsilon=a-f(a)$ 并设 $I''=[a- \frac\varepsilon2, a]$。如果 $x \in I''$，则 $f(x) \le f(a)=a-\varepsilon < x$，矛盾。

3. 因此，$f(a)=a$，证毕。

hbghlyj

函数$f$不连续时，$f^n(c)$不一定收敛到$f$的一个不动点。例如$c\in(\frac12,1)$,$$f:[0,1]\to[0,1]\quad f(x)=\begin{cases}0&x\le\frac{1}{2}\\2\left(x-\frac12\right)^{2}+\frac12&x>\frac{1}{2}\end{cases}$$
则$f^n(c)\to\frac12$, 但$\frac12$不是不动点。

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