三角形重心 关于角的一个不等式

hbghlyj

$$\cos \left(\frac{\angle GBA+\angle GCA}{2}\right)-\frac{1}{2} \sqrt{3} \cos \left(\frac{\angle GBA-\angle GCA}{2}\right)\geq 0$$

kuing

题咋改了呢，我昨天明明记得是 sin 的

hbghlyj

kuing 发表于 2025-1-8 11:59
题咋改了呢，我昨天明明记得是 sin 的

是等价的

从$\sin\angle GBA+\sin\angle GCA\le\frac2{\sqrt3}\sin(\angle GBA+\angle GCA)$
$$ 2 \sin \left(\frac{\angle GBA+\angle GCA}{2}\right) \cos \left(\frac{\angle GBA-\angle GCA}{2}\right) \leq \frac{2 \sin (\angle GBA+\angle GCA)}{\sqrt{3}} $$
分解出$\sin\left(\frac{\angle GBA+\angle GCA}{2}\right)$
$$\sin\left(\frac{\angle GBA+\angle GCA}{2}\right)\left(\cos \left(\frac{\angle GBA+\angle GCA}{2}\right)-\frac{1}{2} \sqrt{3} \cos \left(\frac{\angle GBA-\angle GCA}{2}\right)\right) \geq 0$$
除以$\sin\left(\frac{\angle GBA+\angle GCA}{2}\right)>0$
$$\cos \left(\frac{\angle GBA+\angle GCA}{2}\right)-\frac{1}{2} \sqrt{3} \cos \left(\frac{\angle GBA-\angle GCA}{2}\right)\geq 0$$

hbghlyj

kuing 发表于 2025-1-8 11:59
题咋改了呢，我昨天明明记得是 sin 的

是尝试化简了。

这道题如何证明呢