求$x+y+z$最大值 $(x+y+z-1) (-x-y+z-1) (x-y-z-1) (-x+y-z-1)-2(x^2+y^2+z^2-3)^2=0$

hbghlyj

\begin{aligned}& (x+y+z-1)(-x-y+z-1)(x-y-z-1) \\& (-x+y-z-1)-2\left(x^2+y^2+z^2-3\right)^2=0\end{aligned}

求证：$x+y+z$的最大值为$\frac{1}{7} \left(16 \sqrt{2}-1\right)$
最大值点为$x= \frac{1}{7} \left(12 \sqrt{2}+1\right),y= \frac{1}{7} \left(2 \sqrt{2}-1\right),z=\frac{1}{7} \left(2 \sqrt{2}-1\right)$

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记 `p=x+y+z`, `q=xy+yz+zx`, `r=xyz`，则有恒等式\begin{multline*}(x + y + z - 1) (-x - y + z - 1) (x - y - z - 1) (-x + y - z - 1) \\
-2 (x^2 + y^2 + z^2 - 3)^2=-p^4+4 p^2 q+10 p^2+8 p r-8 q^2-20 q-8 r-17\end{multline*}问题化为：如何在这个式子为0的条件下求$p$的最大值

hbghlyj

使用

kuing 发表于 2025-1-8 14:15
记 `p=x+y+z`, `q=xy+yz+zx`, `r=xyz`，则有恒等式\[(x-y)^2(y-z)^2(z-x)^2=p^2q^2-4q^3-4p^3r+18pqr-27r^2\geqslant0,\]

中的恒等式，问题化为：
在两个约束条件$\cases{-p^4+4 p^2 q+10 p^2+8 p r-8 q^2-20 q-8 r-17=0\\p^2q^2-4q^3-4p^3r+18pqr-27r^2\geq 0}$下，求证$7 p^2+2 p-73\le0$.
然后呢

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2025-1-9 07:44
使用中的恒等式，问题化为：
在两个约束条件$\cases{-p^4+4 p^2 q+10 p^2+8 p r-8 q^2-20 q-8 r-17=0\\p^2q ...

消去$r$，问题化为：
若 7803-9180 p^2-544 p^3+4162 p^4+320 p^5-860 p^6-32 p^7+59 p^8+18360 q+2448 p q-16920 p^2 q-2080 p^3 q+5320 p^4 q+272 p^5 q-488 p^6 q+18144 q^2+2880 p q^2-11584 p^2 q^2-704 p^3 q^2+1632 p^4 q^2+8896 q^3+640 p q^3-2624 p^2 q^3+1728 q^4=0 有实根$q$，求证$7 p^2+2 p-73\le0$.

等价于：
若 $7 p^2+2 p-73>0$，求证7803-9180 p^2-544 p^3+4162 p^4+320 p^5-860 p^6-32 p^7+59 p^8+18360 q+2448 p q-16920 p^2 q-2080 p^3 q+5320 p^4 q+272 p^5 q-488 p^6 q+18144 q^2+2880 p q^2-11584 p^2 q^2-704 p^3 q^2+1632 p^4 q^2+8896 q^3+640 p q^3-2624 p^2 q^3+1728 q^4=0 没有实根$q$
然后呢

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2025-1-9 08:23
若 $7 p^2+2 p-73>0$，求证7803-9180 p^2-544 p^3+4162 p^4+320 p^5-860 p^6-32 p^7+59 p^8+18360 q+2448 p q-16920 p^2 q-2080 p^3 q+5320 p^4 q+272 p^5 q-488 p^6 q+18144 q^2+2880 p q^2-11584 p^2 q^2-704 p^3 q^2+1632 p^4 q^2+8896 q^3+640 p q^3-2624 p^2 q^3+1728 q^4=0 没有实根$q$

使用 kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=13204 中的结论：

$x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$ 没有实根$\iff\Delta\gt0\wedge(8a_2-3a_3^2\ge0\vee -3 a_3^4 + 16 a_3^2 a_2 - 16 a_3 a_1 - 16 a_2^2 + 64 a_0\gt0)$

需要分别验证两个命题：

• 若$7 p^2+2 p-73>0$则$\Delta\gt0$
• 若$7 p^2+2 p-73>0$则$8a_2-3a_3^2\ge0\vee -3 a_3^4 + 16 a_3^2 a_2 - 16 a_3 a_1 - 16 a_2^2 + 64 a_0\gt0$
  

这里
$\Delta=2147483648 (p-1)^8 (p+3)^8 \left(7 p^2-34 p+51\right)^3 \left(\frac{1}{7} (7 p-17)^2+\frac{68}{7}\right)$
$a_0=\frac{\left(p^4-10 p^2+17\right) \left((p (59 p-32)-270) p^2+459\right)}{1728}$
$a_1=\frac{1}{216} p (p (p (p (p (34-61 p)+665)-260)-2115)+306)+\frac{85}{8}$
$a_2=\frac{1}{54} (p (p (p (51 p-22)-362)+90)+567)$
$a_3=\frac{1}{27} (p (10-41 p)+139)$

现在分别验证上面的两个命题：

• $\Delta>0\Leftrightarrow7 p^2-34 p+51 \gt0$
  若$7 p^2+2 p-73>0$则$7 p^2-34 p+51=\frac12(7 p^2+2 p-73)+\frac{7}{2} (p-5)^2 \gt0$ 故 $\Delta\gt0$.
• $7 p^2+2 p-73>0\Leftrightarrow p<\frac{1}{7} \left(-16 \sqrt{2}-1\right)\lor p>\frac{1}{7} \left(16 \sqrt{2}-1\right)$
  需要分段验证：
  
  • 若$p>\frac{1}{7} \left(16 \sqrt{2}-1\right)\vee p<-3.5$则$8a_2-3a_3^2>0$
  • 若$-3.5\le p<\frac{1}{7} \left(-16 \sqrt{2}-1\right)$则$-3 a_3^4 + 16 a_3^2 a_2 - 16 a_3 a_1 - 16 a_2^2 + 64 a_0>0$
    
  所以若$7 p^2+2 p-73>0$则上面两个式子中至少一个为正。

终于证完了

最后，把$7 p^2+2 p-73>0,8a_2-3a_3^2\ge0,-3 a_3^4 + 16 a_3^2 a_2 - 16 a_3 a_1 - 16 a_2^2 + 64 a_0\gt0$的解集画在数轴上：可见$7 p^2+2 p-73>0$的解集包含于后面两个的解集的并集

1. a2=1/54 (567+p (90+p (-362+p (-22+51 p))));
2. a3=1/27 (139+(10-41 p) p);
3. a1=85/8+1/216 p (306+p (-2115+p (-260+p (665+(34-61 p) p))));
4. a0=((17-10 p^2+p^4) (459+p^2 (-270+p (-32+59 p))))/1728;
5. NumberLinePlot[{7p^2+2p-73>0,8a2-3a3^2>0,-3 a3^4+16 a3^2 a2-16 a3 a1-16 a2^2+64 a0>0},{p,-4,6.5},PlotLegends->{7p^2+2p-73>0,8Subscript[a,2]-3Subscript[a,3]^2>0,-3 Subscript[a,3]^4+16 Subscript[a,3]^2 Subscript[a,2]-16 Subscript[a,3] Subscript[a,1]-16 Subscript[a,2]^2+64 Subscript[a,0]>0}]

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验证“若$p>\frac{1}{7} \left(16 \sqrt{2}-1\right)\vee p<-3.5$则$8a_2-3a_3^2>0$”：

1. Reduce[ForAll[p, p <= -7/2 || p > (16 Sqrt[2] - 1)/7, 8 a2 - 3 a3^2 > 0]]

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验证“若$-3.5\le p<\frac{1}{7} \left(-16 \sqrt{2}-1\right)$则$-3 a_3^4 + 16 a_3^2 a_2 - 16 a_3 a_1 - 16 a_2^2 + 64 a_0>0$”：

1. Reduce[ForAll[p, -7/2 <= p < (-16 Sqrt[2] - 1)/7, -3 a3^4 + 16 a3^2 a2 - 16 a3 a1 - 16 a2^2 + 64 a0 > 0]]

复制代码

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上面的证明正确吗有更简单的方法来证明吗？