两个三角形中的不等式

lemondian

求证下面两个不等式：
（1）在锐角$\triangle ABC$中，有$(2a^2+bc)^2>42s(s-a)(b-c)^2$.

（2）在锐角$\triangle ABC$中，有$4m_bm_c\geqslant 2a^2+bc-3\sqrt{2}\cdot \dfrac{s(s-a)(b-c)^2}{2a^2+bc}$.

kuing

（1）我将证明更强式
\[(2a^2+bc)^2>\frac{787+99\sqrt{33}}{32}s(s-a)(b-c)^2,\]
其中右边系数近似值为 `42.36599`。

证明：不妨设 `b\geqslant c`，将 `s=(a+b+c)/2` 代入整理可得
\[\LHS-\RHS=\frac{M+8N}{1024},\]
其中
\begin{align*}
M&=\Bigl(4b-\bigl(3+\sqrt{33}\bigr)c\Bigr)^2\Bigl(256b^2+\bigl(29\sqrt{33}-147\bigr)bc-\bigl(75+27\sqrt{33}\bigr)c^2\Bigr),\\
N&=(a^2-b^2+c^2)\Bigl(512a^2+3\bigl(433+33\sqrt{33}\bigr)b^2-18\bigl(59+11\sqrt{33}\bigr)bc+11\bigl(25+9\sqrt{33}\bigr)c^2\Bigr),
\end{align*}
由锐角三角形且 `b\geqslant c` 易证 `M\geqslant0` 且 `N>0`，即得证。

kuing

（2）我将证明更强式
\[4m_bm_c\geqslant2a^2+bc-\lambda\cdot\frac{s(s-a)(b-c)^2}{2a^2+bc},\]
其中
\[\lambda=\frac{272}{34+3\sqrt{41+11\sqrt{33}}}\approx4.209<3\sqrt2.\]

证明：不妨设 `b\geqslant c`，由中线长公式，只需证
\[(2a^2+2c^2-b^2)(2a^2+2b^2-c^2)\geqslant\left(2a^2+bc-\lambda\cdot\frac{s(s-a)(b-c)^2}{2a^2+bc}\right)^2,\]
将 `s=(a+b+c)/2` 代入整理可得
\[\LHS-\RHS=\frac{(P+16Q)(a+b+c)(b+c-a)(b-c)^2}{2\left(34+3\sqrt{41+11\sqrt{33}}\right)^2(2a^2+bc)^2},\]
其中
\begin{align*}
P&=\Bigl(4b-\bigl(3+\sqrt{33}\bigr)c\Bigr)^2\Bigl(\bigl(787-99\sqrt{33}\bigr)b^2+\bigl(-822+146\sqrt{33}\bigr)bc-\bigl(-114+54\sqrt{33}\bigr)c^2\Bigr),\\
Q&=(a^2-b^2+c^2)\Bigl(\bigl(787-99\sqrt{33}\bigr)a^2+3\bigl(455-33\sqrt{33}\bigr)b^2-9\bigl(41+11\sqrt{33}\bigr)bc+11\bigl(-19+9\sqrt{33}\bigr)c^2\Bigr),
\end{align*}
由锐角三角形且 `b\geqslant c` 易证 `P\geqslant0` 且 `Q>0`，即得证。

lemondian

@kuing
请问用1#的这两个结论能不能证明下面结论？


结论：在锐角$\triangle ABC$中，设$m_a,m_b,m_c$分别表示三条中线长，则有：$(m_a+m_b)^2+(m_b+m_c)^2+(m_c+m_a)^2\geqslant (a+b+c)^2$。

看到公从号上有人用题2来证明上面的结论，但有个地方不理解（标红处是等价的吗？），麻烦大家帮忙看看下面的证明是否正确？

lemondian

lemondian 发表于 2025-1-15 00:15
@kuing
请问用1#的这两个结论能不能证明下面结论？

顶一下！

lemondian

lemondian 发表于 2025-1-15 00:15
@kuing
请问用1#的这两个结论能不能证明下面结论？

哪位达人帮忙看看这个吧，谢谢了！