一个几何问题

snowblink

平面直角坐标系$xOy$中，已知点$A\left ( 1,1 \right ) ，B\left ( -1,1 \right ) ，C\left ( -1,-1 \right ) ，D\left ( 1,-1 \right ) $，动点$P$满足$\left | OP \right | \leqslant 1$，则$\left | PA \right | \cdot \left | PC \right | + \left | PB \right | \cdot \left | PD \right | $的最小值为?并指明取等时点$P$的坐标.

kuing

记 `OP=r`, `\angle POA=\theta`，则由余弦定理有
\begin{align*}
PA\cdot PC&=\sqrt{r^2+2-2\sqrt2r\cos\theta}\sqrt{r^2+2+2\sqrt2r\cos\theta}\\
&=\sqrt{(r^2+2)^2-8r^2\cos^2\theta},
\end{align*}
另一项就是上面的 `\theta` 变成 `\theta+\pi/2`，因此
\[PB\cdot PD=\sqrt{(r^2+2)^2-8r^2\sin^2\theta},\]
再记 `\cos^2\theta=x\in[0,1]`，则变成求
\[f(x)=\sqrt{(r^2+2)^2-8r^2x}+\sqrt{(r^2+2)^2-8r^2(1-x)}\]
的最小值，由于 `\sqrt{ax+b}` 在定义域内必为上凸函数，所以 `f(x)` 为上凸函数，必在端点取最小值，易知
\[f(0)=f(1)=\abs{r^2-2}+r^2+2\geqslant4,\]
所以 `f(x)\geqslant4`，当 `x=0` 或 `1` 且 `r^2\leqslant2` 时取等，即 `PA\cdot PC+PB\cdot PD` 最小值为 `4`，当 `P` 在线段 `AC` 或 `BD` 上均能取等。

PS1、总感觉以前做过，但没搜到……
PS2、条件 `OP\leqslant1` 是多余的。

睡神

kuing 发表于 2025-1-25 21:39
记 `OP=r`, `\angle POA=\theta`，则由余弦定理有
\begin{align*}
PA\cdot PC&=\sqrt{r^2+2-2\sqrt2r\cos\t ...

看着有点像托勒密，不知道有没关联