三角形面积的疑问

hbghlyj

考虑 $\mathbb{R}^3$ 中的任意三角形，设 $u$ 为与顶点 $p$ 相对的边上的向量。那么三角形面积 $A$ 对 $p$ 位置的导数为
\[
\nabla_p A=\frac{1}{2} N \times u
\]
其中 $N$ 为三角形的单位法向量（方向使得 $N \times u$ 从 $u$ 指向 $p$，如图所示）。
增加 $A$ 的最快方法是沿着 $u^\perp=N\times u$ 的方向移动 $p$。

验证公式$\nabla_p A=\frac{1}{2} N \times u$：

1. a={a1,a2,a3};
2. b={b1,b2,b3};
3. c={c1,c2,c3};
4. n=Cross[b-a,c-a]/Sqrt[Cross[b-a,c-a].Cross[b-a,c-a]];
5. A=Cross[b-a,c-a].n;
6. u=c-b;
7. FullSimplify[D[A,{a}]==Cross[n,u]]

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其中$n=\frac{(b-a)\times(c-a)}{|(b-a)\times(c-a)|}$为单位法向量。
但是如果只改变第4行，把 n 固定为 {0,0,1}，其它都不变：

1. a={a1,a2,a3};
2. b={b1,b2,b3};
3. c={c1,c2,c3};
4. n={0,0,1};
5. A=Cross[b-a,c-a].n;
6. u=c-b;
7. FullSimplify[D[A,{a}]==Cross[n,u]]

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居然也是成立的
这里 a,b,c 是任意向量，所以法向量不是 n={0,0,1}，等式怎么会成立呢？

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2025-1-25 10:06
法向量不是 n={0,0,1}，等式怎么会成立呢？

这个对任意 n 都成立吧。第5行
A=Cross[b-a,c-a].n;
可以写成
$A=(a-b)\cdot n\times(c-b)$，所以$\nabla_a A=n\times(c-b)$