整数系数的多项式$P(P(\cdots P(x) \cdots))=x$对于某个整数 $x$

hbghlyj

问题 1.1. 设 $P(x)$ 是一个具有整数系数的多项式。证明如果 $P(P(\cdots P(x) \cdots))=x$ 对于某个整数 $x$（其中 $P$ 被迭代 $n$ 次，对于任何 $n \in \mathbb{N}$），则 $P(P(x))=x$。

解. 设整数 $x$ 满足 $\underbrace{P(P(\cdots P}_{n \text { times }}(x) \cdots))=x$ 是 " $a$ "。现在根据定理 1.1，$P(a)-a \mid P(P(a))-P(a)\Rightarrow|P(a)-a| \leq|P(P(a))-P(a)|$，因为除数的绝对值总是小于等于被除数的绝对值若商为整数。继续这样我们得到，
\[
\begin{gathered}
|P(a)-a| \leq|P(P(a))-P(a)| \leq|P(P(P(a)))-P(P(a))| \leq \cdots \\
\cdots \leq \mid \underbrace{P(P(P(\cdots P}_{n+1 \text { times }}(a) \cdots)))-\underbrace{P(P(\cdots P}_{n \text { times }}(a) \cdots)) \mid \\
=|P(a)-a|
\end{gathered}
\]
因此，
\[
\begin{aligned}
& |P(a)-a|=|P(P(a))-P(a)|=|P(P(P(a)))-P(P(a))|=\cdots \\
& \cdots=\mid \underbrace{P(P(P(\cdots P}_{n+1 \text { times }}(a) \cdots)))-\underbrace{P(P(\cdots P}_{n \text { times }}(a) \cdots))|=|P(a)-a|
\end{aligned}
\]
情况 1:
如果上述等式等于 0，则 $P(P(a))=P(a)=a$。
情况 2:
如果第一个等式中的数字符号相反，则 $P(a)-a=P(a)-P(P(a)) \Rightarrow P(P(a))=a$，我们完成了。
情况 3:
如果第一个等式中的数字符号相同，那么我们取某个等式，其中相邻的数字符号相反。显然它们必须切换符号，因为 $(P(a)-a)+$ $(P(P(a))-P(a))+(P(P(P(a)))-P(P(a)))+\cdots+(\underbrace{P(P(P(\cdots P}_{n \text { times }}(a) \cdots)))-\underbrace{P(P(\cdots P}_{n-1 \text { times }}(a) \cdots)))=0$ 它们不能全部具有相同的符号。

让我们表示 $\underbrace{P(P(P(\cdots P}_{k \text { times }}(x) \cdots)))=P^k(x)$。
因此，$P^k(a)-P^{k-1}(a)=-\left(P^{k+1}(a)-P^k(a)\right)$，对于某些 $k \in \mathbb{N} \leq n\Rightarrow P^{k-1}(a)=P^{k+1}(a)$。现在对 $n-k+1$ 次取 " $P$ " 函数两边得到，
\[
P^{n-k+1}\left(P^{k-1}(a)\right)=P^{n-k+1}\left(P^{k+1}(a)\right) \Rightarrow P^n(a)=P^{n+2}(a) \Rightarrow P(P(a))=a
\]

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问题 1.2. 多项式 $P(x) \in \mathbb{Z}[x]$ 在三个不同的整数点取值为 $\pm 1$。证明它没有整数零点。

证明：$P(x)^2-1$ 有三个整数零点，因此 $P(x)^2-1=(x-a)(x-b)(x-c)Q(x)$ 对于某些 $a,b,c \in \mathbb{Z}$ 和 $Q(x) \in \mathbb{Z}[x]$。现在，$P(x)^2-1=(P(x)-1)(P(x)+1)=(x-a)(x-b)(x-c)Q(x)$。现在，$P(x)-1$ 和 $P(x)+1$ 是互质的，那么我该怎么办？

hbghlyj

也发到聊天室问问 chat.stackexchange.com/transcript/message/67118852#67118852

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已有回复。贴网友的证明

问题 1.2. 多项式 $P(x) \in \mathbb{Z}[x]$ 在三个不同的整数点取值为 $\pm 1$。证明它没有整数零点。
证明: $P(x)^2-1$ 有三个整数零点，因此 $P(x)^2-1=(x-a)(x-b)(x-c)Q(x)$，其中 $a,b,c \in \mathbb{Z}$ 且 $Q(x) \in \mathbb{Z}[x]$。现在，如果 $P(x)$ 有一个整数零点 $k$，那么 $-1=(k-a)(k-b)(k-c)Q(k)$，因此 $(k-a),(k-b),(k-c)$ 中至少有两个因子相同（+1 或 -1），这就矛盾了。