问一个复数与三角的问题

lemondian

如图，请问画红线处是如何来的？

kuing

“那么 `e^{2in\theta}-1=...=...=...`” 这段第三个等号之后显然还能继续化简，是他没写还是你截图没截全？

由于 `e^{\pi i/2}=i`，所以 `e^{\pi i(n-1)/2}=i^{n-1}`，因此化简后是
\[e^{2in\theta}-1=2^ni^{2n-1}e^{in\theta}\prod_{k=0}^{n-1}\sin\left(\theta-\frac{\pi k}n\right),\]
两边除以 `e^{in\theta}` 就是红线式。

kuing

他这段是要推最后 sin(nθ) 那条公式吗？

只是推那公式的话，其实不用复数也可以，你要是玩不惯复数的指数形式，下面的推导你也可以看看。
（或许以前在别的贴子也写过类似的东东，但懒得找了）

根据切比雪夫多项式的理论，有
\[\frac{\sin\bigl((n+1)x\bigr)}{\sin x}=U_n(\cos x),\]
其中 `U_n(x)` 为第二类切比雪夫多项式，其次数为 `n`，最高次项系数为 `2^n`。

由于当 `x\in\left\{\frac\pi{n+1},\frac{2\pi}{n+1},\ldots,\frac{n\pi}{n+1}\right\}` 时 `\sin\bigl((n+1)x\bigr)=0`，因此 `U_n(x)=0` 的 `n` 个根就是 `\cos\frac{k\pi}{n+1}`（`k\in\{1,2,\ldots,n\}`），所以
\[\frac{\sin\bigl((n+1)x\bigr)}{\sin x}=2^n\left(\cos x-\cos\frac\pi{n+1}\right)\left(\cos x-\cos\frac{2\pi}{n+1}\right)\cdots\left(\cos x-\cos\frac{n\pi}{n+1}\right),\]
注意到
\begin{align*}
&\left(\cos x-\cos\frac{k\pi}{n+1}\right)\left(\cos x-\cos\frac{(n+1-k)\pi}{n+1}\right)\\
={}&\cos^2x-\cos^2\frac{k\pi}{n+1}\\
={}&\sin\left(\frac{k\pi}{n+1}-x\right)\sin\left(\frac{k\pi}{n+1}+x\right)\\
={}&\sin\left(\frac{k\pi}{n+1}-x\right)\sin\left(\frac{(n+1-k)\pi}{n+1}-x\right),
\end{align*}
这样就得到
\[\frac{\sin\bigl((n+1)x\bigr)}{\sin x}=2^n\sin\left(\frac\pi{n+1}-x\right)\sin\left(\frac{2\pi}{n+1}-x\right)\cdots\sin\left(\frac{n\pi}{n+1}-x\right),\]
将 `n` 写成 `n-1`，左边分母乘过去，就是
\[\sin(nx)=2^{n-1}\sin x\sin\left(\frac\pi n-x\right)\sin\left(\frac{2\pi}n-x\right)\cdots\sin\left(\frac{(n-1)\pi}n-x\right),\]
这与 1# 红线之后的式子化简后是一样的。