A是C的倍数。则lcm(gcd(A, B), C) = gcd(A, lcm(B, C)).

hbghlyj

来自Xiong Rui (2020)文中的第一个引理。如何证明呢

hbghlyj

根据WolframAlpha有lcm(gcd(30, 12), 15) = gcd(30, lcm(12, 15))

hbghlyj

找到了！math.stackexchange.com/questions/1883518/if-a-subseteq-c-then-ab-cap-c-ab-cap-c
en.wikipedia.org/wiki/Modular_lattice

hbghlyj

The smallest non-modular lattice is the "pentagon" lattice N₅ consisting of five elements 0, 1, x, a, b such that 0 < x < b < 1, 0 < a < 1, and a is not comparable to x or to b. For this lattice,
x ∨ (a ∧ b) = x ∨ 0 = x < b = 1 ∧ b = (x ∨ a) ∧ b
holds, contradicting the modular law. Every non-modular lattice contains a copy of N₅ as a sublattice.

hbghlyj

en.wikipedia.org/wiki/Lattice_of_subgroups
Aschbacher Finite Group Theory p.6

Robinson A Course in the Theory of Groups p.15

hbghlyj

我知道了！
Distributive law
对任意 x, y, z 有 x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ (x ∨ z)

Modular law
若 x ≤ z 则 x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ (x ∨ z)

Distributive law 可以推出 Modular law
整数的整除满足更强的Distributive law！

hbghlyj

定理 1：LCM 对 GCD 的分配律
当计算两个数 b 和 c 的 GCD 时，再取该结果与 a 的 LCM，所得结果等于分别取 a 与 b 的 LCM 以及 a 与 c 的 LCM，再取它们的 GCD。

LCM (a, GCD (b,c)) = GCD (LCM (a, b), LCM (a, c))

定理 2：GCD 对 LCM 的分配律
当计算两个数 b 和 c 的 LCM 时，再取该结果与 a 的 GCD，所得结果等于分别取 a 与 b 的 GCD 以及 a 与 c 的 GCD，再取它们的 LCM。

GCD (a, LCM (b, c)) = LCM (GCD (a, b), GCD (a, c))

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GCD 和 LCM 分配性质的证明
在本节，我们将通过两个关键的证明展示最大公约数（GCD）和最小公倍数（LCM）的分配性质：

LCM 对 GCD 的分配性质证明
考虑一个素因子 p 及其在数 a、b、c 中的指数 sa、sb、sc。

令：x = LCM(a, GCD(b, c))

从素数分解来看，x 中 p 的指数为：max(sa, min(sb, sc))

利用 max 对 min 的分配性质，可重写为：

max(sa, min(sb, sc)) = min(max(sa, sb), max(sa, sc))

因此，有：

LCM(a, GCD(b, c)) = GCD(LCM(a, b), LCM(a, c))。

让我们通过一个例子来验证。

设 a = 4, b = 6, c = 8。
计算 LCM(4, GCD(6, 8)).
GCD(6, 8) = 2
LCM(4, 2) = 4
然后计算 GCD(LCM(4, 6), LCM(4, 8))
LCM(4, 6) = 12 且 LCM(4, 8)=8
GCD(12, 8) = 4
两边都为 4，验证了该定理。

GCD 对 LCM 的分配性质证明
同样，考虑同一个素因子 p。

令：y = GCD(a, LCM(b, c))

从素数分解来看，y 中 p 的指数为：min(sa, max(sb, sc))

利用 min 对 max 的分配性质，可写为：

min(sa, max(sb, sc)) = max(min(sa, sb), min(sa, sc))

这说明了：

GCD(a, LCM(b, c)) = LCM(GCD(a, b), GCD(a, c))。

让我们通过另一个例子来验证。

设 a = 10, b = 15。
计算 GCD(10, LCM(15, 20))
LCM(15, 20) = 60
GCD(10, 60) = 10
计算 LCM(GCD(10, 15), GCD(10, 20))
GCD(10, 15)=5
LCM(5, 10)=10
两边都为 10，也验证了该定理。

hbghlyj

A Course in the Theory of Groups p.15 写道：对于一般的群，只成立modular law.

问题：举出不成立distributive law的例子？

网友@Thorgott回复了：chat.stackexchange.com/transcript/message/67176939#67176939
think about lines in $\mathbb{R}^2$

补上证明：
Let $H,K,L$ be three distinct lines through the origin in $\mathbb{R}^{2}$. Then $H \cap L=K \cap L=\{0\}$, so that $(H \cap L)(K \cap L)=\{0\}$, while $(H K) \cap L=L$.

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2025-2-8 01:01
整数的整除满足更强的Distributive law！

看来，整数是很特殊的群。还有哪些群满足更强的Distributive law呢
发到聊天室：chat.stackexchange.com/transcript/message/67176974#67176974

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2025-2-8 01:42
看来，整数是很特殊的群。还有哪些群满足更强的Distributive law呢

聊天室：chat.stackexchange.com/transcript/message/67176974#67176974 有回覆了！
@Thorgott說：
以下三个是等价的:
(1) the lattice of subgroups is distributive
(2) every finitely generated subgroup is cyclic
(3) the group is a subquotient of $\mathbb{Q}$

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2025-2-8 08:10

以下三个是等价的:
(1) the lattice of subgroups is distributive
(2) every finitely generated subgroup is cyclic
(3) the group is a subquotient of $\mathbb{Q}$

找到了2、3等价的证明:
groupprops.subwiki.org/w/index.php?title=Locally_cyclic_iff_subq ... ionals&section=0

如何证明1等价于2、3？

hbghlyj

题太难了！

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