这两个捆绑互嵌数列能不能求出通项公式？

其妙

abababa

看着挺对称的，令$x_n=a_n+b_n,y_n=a_n-b_n$，则$a_n^2-b_n^2=(a_n+b_n)(a_n-b_n)=x_ny_n$，于是
\[y_{n+1}=a_{n+1}-b_{n+1}=(a_n^2-b_n^2)+2(a_n-b_n)=x_ny_n+2y_n=(x_n+2)y_n\]

于是$\frac{y_{n+1}}{y_n}=x_n+2$，递推即有
\[y_n=y_0\prod_{k=0}^{n-1}(x_k+2)\]
然后
\[x_{n+1}=a_{n+1}+b_{n+1}=(a_n^2+b_n^2)-2(a_n+b_n)=\frac{(a_n+b_n)^2-(a_n-b_n)^2}{2}-2(a_n+b_n)=\frac{x_n^2+y_n^2}{2}-2x_n\]
再把$y_n$代进去，就是
\[x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_n^2+\left[y_0\prod_{k=0}^{n-1}(x_k+2)\right]^2\right)-2x_n\]

这样就是非线性递推方程了，猜是没有简单的解。

kuing

abababa 发表于 2025-2-12 15:22
看着挺对称的，令$x_n=a_n+b_n,y_n=a_n-b_n$，则$a_n^2-b_n^2=(a_n+b_n)(a_n-b_n)=x_ny_n$，于是
\[y_{n+1} ...

中间有笔误：最长那条式子中间的 `(a_n+b_n)^2-(a_n-b_n)^2` 应该是 `(a_n+b_n)^2+(a_n-b_n)^2`

从 `\frac{y_{n+1}}{y_n}=x_n+2` 和 `x_{n+1}=\frac{x_n^2+y_n^2}{2}-2x_n` 消 `x_n` 也是蛮复杂的递推……

abababa

kuing 发表于 2025-2-12 15:36
中间有笔误：最长那条式子中间的 `(a_n+b_n)^2-(a_n-b_n)^2` 应该是 `(a_n+b_n)^2+(a_n-b_n)^2`

从 `\fr ...

是的，我总打错点什么东西。

ljh25252

原题应该是美国国家队预选题P1

当然可以，不过要设初项
令
$$
\begin{cases}
a_1=\alpha+\beta+\gamma\\
b_1=\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha\\
1=\alpha\beta\gamma
\end{cases}
$$
也就是 $\alpha.\beta,\gamma$ 分别为 $x^3-a_1x^2+b_1x-1=0$ 的三个根
归纳不难得出通项公式为：
$$
\begin{cases}
a_n=\alpha^{2^{n-1}}+\beta^{2^{n-1}}+\gamma^{2^{n-1}}\\
b_n=(\alpha\beta)^{2^{n-1}}+(\beta\gamma)^{2^{n-1}}+(\gamma\alpha)^{2^{n-1}}+
\end{cases}
$$

类似的题见
zhihu.com/question/5814882364/answer/47046448799
下面的最后一题
zhuanlan.zhihu.com/p/407534999

注意到 $a_1=(\sqrt{2}-1)^2+\frac{2}{\sqrt{2}-1},b_1=2(2\sqrt{2}-1)+\frac{1}{(\sqrt{2}-1)^2}$,设 $x=\sqrt{2}-1$ 则 $a_1=x^2+\frac{2}{x},b_1=2x+\frac{1}{x^2}$, 有
$$
\begin{cases}
a_2=(x^2)^2+\frac{2}{x^2}\\
b_2=2x^2+\frac{1}{(x^2)^2}
\end{cases}\Rightarrow\cdots\Rightarrow \begin{cases}
a_n=x^{2^n}+\frac{2}{x^{2^{n-1}}}\\
b_n=2x^{2^{n-1}}+\frac{1}{x^{2^n}}
\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}
a_n=(\sqrt{2}-1)^{2^n}+2(\sqrt{2}-1)^{-2^{n+1}}\\
b_n=2(\sqrt{2}-1)^{2^{n-1}}+(\sqrt{2}-1)^{-2^n}
\end{cases}
$$