方程

AK007

已知正实数 $m, n$ 满足 $e m+\ln m=2, n \cdot e^{2 n-3}=\frac{1}{2}$ ，则 $\frac{n}{m}=(\quad)$

abababa

令$x=em,y=2n$，则有$2=em+\ln m=x+\ln x-\ln e$，所以$x+\ln x=3$。再将$n\cdot e^{2n-3}=1/2$两边取对数有$-\ln2=\ln n+2n-3=\ln y-\ln2+y-3$，所以$y+\ln y=3$。于是$x+\ln x=y+\ln y=3$，函数$f(t)=t+\ln t$在定义域里是单调的，所以等式成立只能$x=y$，也就是$em=2n$，所以$n/m=e/2$。

AK007

abababa 发表于 2025-2-12 15:40
令$x=em,y=2n$，则有$2=em+\ln m=x+\ln x-\ln e$，所以$x+\ln x=3$。再将$n\cdot e^{2n-3}=1/2$两边取对数 ...

这样构造函数计算量比较小