|
|
Noether normalisation lemma
math.stackexchange.com/questions/1472631/what-does-noethers-normalization-lemma-even-mean
定理5. 给定一个有限群 $G \subset \operatorname{GL}(n, k)$，我们有
\[
k\left[x_1, \ldots, x_n\right]^G=k\left[R_G\left(x^\beta\right):|\beta| \leq|G|\right] .
\]
特别地，$k\left[x_1, \ldots, x_n\right]^G$ 由有限多个齐次不变量生成。
证明. 如果 $f=\sum_\alpha c_\alpha x^\alpha \in k\left[x_1, \ldots, x_n\right]^G$，那么命题3表明
\[
f=R_G(f)=R_G\left(\sum_\alpha c_\alpha x^\alpha\right)=\sum_\alpha c_\alpha R_G\left(x^\alpha\right)
\]
因此，每个不变量都是 $R_G\left(x^\alpha\right)$ 的线性组合（在 $k$ 上）。因此，只需证明对于所有 $\alpha, R_G\left(x^\alpha\right)$ 是 $R_G\left(x^\beta\right),|\beta| \leq|G|$ 的多项式。
Noether 的巧妙想法是固定一个整数 $k$ 并将所有总度数为 $k$ 的 $R_G\left(x^\beta\right)$ 组合成 $§
1$ 中考虑的类型的幂和。使用对称函数理论，这可以用有限多个幂和表示，定理将随之而来。
实现这一策略的第一步是将 $\left(x_1+\cdots+x_n\right)^k$ 展开为单项式 $x^\alpha$ 的和，其中 $|\alpha|=k$ :
\[\tag2
\left(x_1+\cdots+x_n\right)^k=\sum_{|\alpha|=k} a_\alpha x^\alpha
\]
在练习4中，你将证明对于所有 $|\alpha|=k$，$a_\alpha$ 是一个正整数。
为了利用这个恒等式，我们需要一些符号。给定 $A=\left(a_{i j}\right) \in G$，令 $A_i$ 表示 $A$ 的第 $i$ 行。因此，$A_i \cdot \mathbf{x}=a_{i 1} x_1+\cdots+a_{i n} x_n$。然后，如果 $\alpha_1=\left(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\right) \in \mathbb{Z}_{\geq 0}^n$，令
\[
(A \cdot \mathbf{x})^\alpha=\left(A_1 \cdot \mathbf{x}\right)^{\alpha_1} \cdots\left(A_n \cdot \mathbf{x}\right)^{\alpha_n}
\]用这种符号，我们有
\[
R_G\left(x^\alpha\right)=\frac{1}{|G|} \sum_{A \in G}(A \cdot \mathbf{x})^\alpha
\]
现在引入新变量 $u_1, \ldots, u_n$ 并在 (2) 中用 $u_i A_i \cdot \mathbf{x}$ 代替 $x_i$。这给出了恒等式
\[
\left(u_1 A_1 \cdot \mathbf{x}+\cdots+u_n A_n \cdot \mathbf{x}\right)^k=\sum_{|\alpha|=k} a_\alpha(A \cdot \mathbf{x})^\alpha u^\alpha
\]
如果我们对所有 $A \in G$ 求和，那么我们得到
\[\tag3
\begin{aligned}
S_k=\sum_{A \in G}\left(u_1 A_1 \cdot \mathbf{x}+\cdots+u_n A_n \cdot \mathbf{x}\right)^k & =\sum_{|\alpha|=k} a_\alpha\left(\sum_{A \in G}(A \cdot \mathbf{x})^\alpha\right) u^\alpha \\
& =\sum_{|\alpha|=k} b_\alpha R_G\left(x^\alpha\right) u^\alpha
\end{aligned}
\]其中 $b_\alpha=|G| a_\alpha$。注意右边的和如何编码所有 $|\alpha|=k$ 的 $R_G\left(x^\alpha\right)$。这就是我们使用变量 $u_1, \ldots, u_n$ 的原因：它们防止任何抵消发生。
(3) 的左边是 $|G|$ 个量的 $k$ 次幂和 $S_k$
\[
U_A=u_1 A_1 \cdot \mathbf{x}+\cdots+u_n A_n \cdot \mathbf{x}
\]由 $A \in G$ 索引。我们将其写为 $S_k=S_k\left(U_A: A \in G\right)$。根据 $§
1$ 的定理8，每个 $|G|$ 个量 $U_A$ 的对称多项式都是 $S_1, \ldots, S_{|G|}$ 的多项式。由于 $S_k$ 关于 $U_A$ 是对称的，因此
\[
S_k=F\left(S_1, \ldots, S_{|G|}\right)
\]对于某个系数在 $k$ 中的多项式 $F$。在 (3) 中代入，我们得到
\[
\sum_{|\alpha|=k} b_\alpha R_G\left(x^\alpha\right) u^\alpha=F\left(\sum_{|\beta|=1} b_\beta R_G\left(x^\beta\right) u^\beta, \ldots, \sum_{|\beta|=|G|}b_\beta R_G\left(x^\beta\right) u^\beta\right)
\]
展开右边，由 $u^\alpha$ 的系数相等，得到
\[
b_\alpha R_G\left(x^\alpha\right)=R_G\left(x^\beta\right)\text { 的多项式} , \quad|\beta| \leq|G|
\]
由于 $k$ 的特征为零，系数 $b_\alpha=|G| a_\alpha$ 在 $k$ 中非零，因此 $R_G\left(x^\alpha\right)$ 具有所需的形式。这完成了定理的证明。
|
|
![978-1-4757-2693-0[1].webp](data/attachment/forum/202502/15/110034f9gcgkgjf05hii29.webp "978-1-4757-2693-0[1].webp")