代数曲线不能戛然而止

hbghlyj

Algebraic curve cannot suddenly end

if the algebraic curve enters a closed region it must also leave

如果代数曲线进入一个封闭区域，它也必须离开它。

这具有历史意义，因为高斯在他的博士论文中的证明假设了这个性质成立。 从周围的资料来看，似乎A. Ostrowski在1920年代左右严格证明了这个结果。 这是正确的吗？ 我找不到这篇论文的标题。

是否也有证明实代数曲线不会突然终止的证明？

突然终止：
给定一个不可约多项式 $p$，我们定义 $V(p)$ 为与 $p$ 相关的复代数曲线。 我说 $V(p)$ 在 $(x,y)\in\mathbb{C}^2$ 且 $p(x,y)=0$ 处不会突然终止，如果存在一个足够小的圆盘，使得边界上恰好包含 $V(p)$ 中的两个点。

基于Puiseux级数展开的简单证明。 设 $C$ 是原点处的实代数曲线。 看 $C$ 在 $O$ 附近的Puiseux级数展开（假设以 $x$ 为变量）。 根据假设，其中一个分支（在 $\mathbb{C}$ 上），称为 $C_1$，具有形式
$$y = a_1x^{r_1} + a_2x^{r_2} + \cdots \quad\quad\quad (1)$$
其中 $a_i \in \mathbb{R}$。 设 $q$ 为 $r_i$ 的分母的最小公倍数。 如果 $q$ 是奇数，则分支扩展到原点的两侧，因此 $C_1$ 不会突然终止。 所以假设 $q$ 是偶数。 设 $\zeta := e^{2\pi i/q}$。 对于每个 $j$，$1 \leq j \leq q$，与 $C_1$ 对应的复曲线在 $O$ 附近的Puiseux级数展开形式为 $y = \sum_i a_i \zeta^{jp_i}x^{r_i}$，其中 $p_i = qr_i$。 特别地，取 $j =q/2$（因此 $\zeta^j = -1$），我们看到与 $C_1$ 对应的复曲线的展开形式为
$$y = \sum_i a_i (-1)^{p_i}x^{r_i}.  \quad\quad\quad (2)$$
根据对 $q$ 的最小性假设，存在 $i$ 使得 $a_i\neq 0$ 且 $p_i$ 是奇数，因此，$(1)$ 和 $(2)$ 给出了不同的实曲线，因此 $C_1$ 不会突然终止。

附注：上述论证仅表明 $C_1$ 在以 $O$ 为中心的足够小的圆盘的边界上至少有两个端点。 但它不能有超过两个端点，因为对于所有 $j \not\in \lbrace q/2, q\rbrace$，$\zeta^j$ 是非实数，因此相应的参数化不会给出任何实数点。

hbghlyj

如果代数曲线进入一个闭圆盘，它也必须离开它。

不是代数曲线且不满足该性质的曲线的例子：

极坐标方程为 $r=e^{\varphi }$ 的曲线进入圆盘 $r\le1$ 后不会离开，因为当 $\varphi\to-\infty$ 时曲线趋于原点。

hbghlyj

一个证明出现在arxiv.org/abs/1704.06585

大纲如下：