绳结在四维解开

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Kaku M. 所著的《超空间：穿越平行宇宙、时间扭曲和第十维度的科学之旅》一书。脚注 15：

要想象如何在三维以上的维度上解开结，请想象两个相互缠绕的环。现在取此配置的二维横截面，使得一个环位于此平面上，而另一个环则变成一个点（因为它垂直于平面）。现在我们在圆内有一个点。在更高的维度中，我们可以自由地将这个点完全移出圆外，而无需切断任何环。这意味着两个环现在已经完全分离，如所愿。这意味着高于三维的结总是可以解开，因为有“足够的空间”。但也请注意，如果我们在三维空间中，我们就无法从环上移除点，这就是结只在第三维度上保持打结的原因。

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结是空间中的一条封闭曲线。如果结可以变形为一个简单的未打结的圆，并且任何时候都没有任何自相交，则称其为平凡结。很容易看出，在四维空间中没有非平凡的结。您将无法在四维空间中系鞋带。

我们使用颜色作为第四个坐标。第四维是介于 0 和 1 之间的“色调值”。它将颜色标记为类似于彩虹的颜色。如果我们给结点上色，我们会将结点放置在四维空间中。我们有一个参数化曲线 r(t) = (x(t),y(t),z(t),c(t))。前三个位置 (x,y,z) 是曲线上点的位置，第四个位置 c 是该点的颜色。如果我们解开结点，我们现在可以在四维空间中做到这一点，只要颜色不同，曲线在三维上的投影相交

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math.stackexchange.com/questions/1426501/why-are-all-knots-trivial-in-4d
一个结的交叉点可以表示为：一条是$x$轴、一条是$y$轴(在$z$方向上稍微抬高)。具体来说，如果$\phi$是一个在$0$附近支撑的平滑凸起函数，那么参数曲线
$$
(t_{1}, 0, 0, 0),\quad \bigl(0, t_{2}, \phi(t_{2}), 0\bigr)
\tag{1}
$$
表示交叉的线段。映射
$$
\bigl(0, t_{2}, \phi(t_{2}) \cos(\pi s), \phi(t_{2}) \sin(\pi s)\bigr),\quad 0 \leq s \leq 1,
$$
将上交叉 (1) 转换为下交叉。
$$
(t_{1}, 0, 0, 0),\quad \bigl(0, t_{2}, -\phi(t_{2}), 0\bigr).
$$

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紐结维基
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