关于球面上闭合曲线的Horn引理

hbghlyj

math.stackexchange.com/a/830210/

设 $G$ 是单位球面上的一条闭合曲线，长度不足 $2\pi$，则 $G$ 包含于某个半球面。


R.A. Horn在《论Fenchel定理》（American Mathematical Monthly, 78, 1971, 380-381）一文中给出了证明
Horn-FenchelsTheorem-1971.pdf (164.46 KB, Downloads: 33)

2025-2-20 06:19 Upload

Click on the file to download the attachment

hbghlyj

证明：考虑曲线上的两点 $P$ 和 $Q$，将 $G$ 分成两段长度相等的部分 $G_1$ 和 $G_2$，因此它们的长度都小于 $\pi$。那么沿球面从 $P$ 到 $Q$ 的距离小于 $\pi$，因此从 $P$ 到 $Q$ 存在唯一的短弧。设 $M$ 为该弧的中点。我们希望证明 $G$ 的任何点都不会碰到以 $M$ 为北极的赤道大圆。如果其中一条曲线（例如 $G_1$）上的某点 $R$ 碰到赤道，那么我们可以通过绕过 $M$ 的轴旋转 $G_1$ 半圈来构造另一条曲线 $G_1'$，使得 $P$ 变为 $Q$，$Q$ 变为 $P$，而 $R$ 变为对跖点 $R'$。由 $G_1$ 和 $G_1'$ 形成的曲线与原曲线 $G$ 长度相同，但它包含一对对跖点，因此其长度至少为 $2\pi$，这与 $G$ 的长度小于 $2\pi$ 的假设相矛盾。

hbghlyj

论坛上好像之前有过？

hbghlyj

Fáry-Milnor定理说，打结的闭合曲线的总曲率不小于$4\pi$：math.mit.edu/~hrm/papers/milnor-kinky.pdf