圆环上两点的最短距离

hbghlyj

圆环是圆（子午线）绕着同一平面上的一条直线的旋转面。
圆环S上两点若在同一条子午线上则S上最短距离是沿着该子午线：

把一点稍稍偏移子午线，则S上最短距离也稍稍偏移子午线，成为一条环绕圆环S的曲线γ：
曲线γ上局部取任意两点则S上最短距离是沿着曲线γ（此处“局部”指两点之间的γ段环绕S不超过1圈）

对于 $γ$ 上任一点 $P$，
设 $ψ$ 是 $γ$ 与经过$P$的子午线之间的夹角，
设 $ρ$ 是 $P$ 到圆环S的旋转轴的距离，
则 $ρ\sin ψ$ 沿着 $γ$ 为常数。（当 $γ$ 为子午线，显然$ψ=0\Rightarrow ρ\sin ψ=0$为常数）

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对于任意旋转曲面S上的测地线γ，
当一个粒子在除了将其保持在S表面的力之外没有其他力的情况下沿着γ移动时，绕 旋转轴的角动量守恒的表达为：

$ρ\sin ψ$ 沿 $γ$ 为常数

其中 ρ 是S上任一点到旋转轴的距离，ψ 是 γ 与S子午线之间的夹角。

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torus geodesics一般很复杂
博客：thatsmaths.com/2022/12/08/curvature-and-geodesics-on-a-torus/
视频：youtube.com/watch?v=CmcWX0uitCg