函数可以写成偶函数和奇函数的和

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2阶的循环群有两个不可约表示，所以对于函数 $f(x)$，我们可以将其写成偶函数和奇函数的和：
$$f(x)=\underbrace{\frac{f(x)+f(-x)}{2}}_{\text{Even}}+\underbrace{\frac{f(x)-f(-x)}{2}}_{\text{Odd}}$$
函数上的交换算子 $f(x,y) \mapsto f(y,x)$ 导致函数表示为对称和反对称函数的和：
$$
f(x,y) = \frac{f(x,y) + f(y,x)}{2} + \frac{f(x,y) - f(y,x)}{2}
$$
一般地，我们也可以考虑高阶对称性而不是2阶对称性。
对于每个 $n \geq 1$，尝试将函数 $f:\mathbf C \to \mathbf C$ 分解为函数 $f_k(z)$ 的和，当这些函数经历每个 $n$ 阶根的缩放时会按每个 $n$ 阶根的 $k$ 次幂进行缩放：$$f_k(\zeta z) = \zeta^k f_k(z)$$对于所有 $n$ 阶根 $\zeta= e^{2\pi i/n}$ 和所有复数 $z$，其中 $0 \leq k \leq n-1$。
$n=2$ 的情况是 $\mathbf C$ 上的偶函数/奇函数（$f_0(-z) = f_0(z)$ 意味着 $f_0$ 是偶函数，$f_1(-z) = -f_1(z)$ 意味着 $f_1$ 是奇函数）。取 $n = 4$，我们可以尝试将每个函数 $f:\mathbf C \to \mathbf C$ 分解为四个函数的和
$$
f(z) = f_0(z) + f_1(z) + f_2(z) + f_3(z)
$$
其中 $f_0(iz) = f_0(z)$，$f_1(iz) = if_1(z)$，$f_2(iz) = -f_2(z)$，$f_3(iz) = -if_3(z)$ 对于所有 $z \in \mathbf C$。以下是每个函数的公式：
$$
f_0(z) = \frac{f(z) + f(iz) + f(-z) + f(-iz)}{4},
$$
$$
f_1(z) = \frac{f(z) - if(iz) - f(-z) + if(-iz)}{4},
$$
$$
f_2(z) = \frac{f(z) - f(iz) + f(-z) - f(-iz)}{4},
$$
$$
f_3(z) = \frac{f(z) + if(iz) - f(-z) - if(-iz)}{4}.
$$
这些平均公式是你为确定 $\mathbf R \to \mathbf R$ 函数的偶/奇部分所写公式的推广。函数上的傅里叶变换是4阶的。
\[\bbox[#f8f1ea, 0.6em, border: 0.15em solid #fd8105]{x(t)\overset{\mathcal{F}}{\Longrightarrow} X(\omega)\overset{\mathcal{F}}{\Longrightarrow} x(-t)\overset{\mathcal{F}}{\Longrightarrow} X(-\omega)\overset{\mathcal{F}}{\Longrightarrow} x(t)}\]
这进一步扩展到将有限群的表示分解为不可约表示的和

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en.wikipedia.org/wiki/Tensor_product_of_representations#The_symmetric_and_exterior_powers

${\displaystyle V^{\otimes 2}\cong \operatorname {Sym} ^{2}(V)\oplus \operatorname {Alt} ^{2}(V)}$
${\displaystyle \operatorname {Sym} ^{2}(V)=\operatorname{Span}\{v_{i}\otimes v_{j}+v_{j}\otimes v_{i}\mid 1\leq i\leq j\leq n\}}$
${\displaystyle \operatorname {Alt} ^{2}(V)=\operatorname{Span} \{v_{i}\otimes v_{j}-v_{j}\otimes v_{i}\mid 1\leq i<j\leq n\}}.$

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命题 2.3.8. 设 $\rho: G \rightarrow G L(V)$ 是一个表示，其特征标为 $\chi$。设 $\chi_S$ 和 $\chi_A$ 分别表示 $\rho_S$ 和 $\rho_A$ 的特征标，则
\[
\begin{array}{ll}
\chi_S(g)=\frac{1}{2}\left(\chi^2(g)+\chi\left(g^2\right)\right) & \forall g \in G \\
\chi_A(g)=\frac{1}{2}\left(\chi^2(g)-\chi\left(g^2\right)\right) & \forall g \in G
\end{array}
\]

证明

固定 $g \in G$，则 $\rho_g$ 是可对角化的。因此选择 $V$ 的基 $\left\{v_1, v_2, \ldots, v_n\right\}$ 使得
\[
\rho_g\left(v_i\right)=\lambda_i v_i \quad \forall 1 \leq i \leq n
\]
因此，
\[
\chi(g)=\sum_{i=1}^n \lambda_i \text { 并且 } \chi\left(g^2\right)=\sum_{i=1}^n \lambda_i^2
\]
如果 $w_{i, j}=v_i \otimes v_j+v_j \otimes v_i$，则
\[
\rho_S(g)\left(w_{i, j}\right)=\rho_g\left(v_i\right) \otimes \rho_g\left(v_j\right)+\rho_g\left(v_j\right) \otimes \rho_g\left(v_i\right)=\lambda_i \lambda_j w_{i, j}
\]
类似地，取 $t_{i, j}=v_i \otimes v_j-v_j \otimes v_i$，则
\[
\rho_A(g)\left(t_{i, j}\right)=\lambda_i \lambda_j t_{i, j}
\]
因此，
\[
\begin{aligned}
\chi_S(g) & =\sum_{1 \leq i \leq j \leq n} \lambda_i \lambda_j \\
\chi_A(g) & =\sum_{1 \leq i<j \leq n} \lambda_i \lambda_j \\
\Rightarrow \chi_S(g) & =\sum_{i=1}^n \lambda_i^2+\chi_A(g) \\
& =\chi\left(g^2\right)+\chi_A(g) \\
\Rightarrow \chi\left(g^2\right) & =\chi_S(g)-\chi_A(g)\qquad(*)
\end{aligned}
\]
另外，
\[
\begin{aligned}
\chi(g)^2 & =\left(\sum_{i=1}^n \lambda_i\right)^2=\sum_{i=1}^n \lambda_i^2+2 \sum_{i<j} \lambda_i \lambda_j \\
& =\chi\left(g^2\right)+2 \chi_A(g) \\
\Rightarrow \chi(g)^2 & =\chi_S(g)+\chi_A(g) \qquad(* *)
\end{aligned}
\]
解 $(*)$ 和 $(* *)$ 得到所需结果。 $\blacksquare$