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本帖最后由 hbghlyj 于 2025-3-1 10:12 编辑 Extension_in_a_half_space
Seeley 对半直线的结果给出了一个一致的扩展映射
$${E:C^{\infty }(\mathbf {R} ^{+})\rightarrow C^{\infty }(\mathbf {R} ),}$$
它是线性的，连续的（对于函数及其导数在紧集上的一致收敛拓扑），并且将支撑在 $[0,R]$ 上的函数映射到支撑在 $[−R,R]$ 上的函数。
为了定义 $ E, $ 设
$${E(f)(x)=\sum _{m=1}^{\infty }a_{m}f(-b_{m}x)\varphi (-b_{m}x)\,\,\,(x<0),} $$
其中 $φ$ 是在 $\mathbb R$ 上具有紧支撑的光滑函数，在 0 附近等于 1，并且序列 $(a_m), (b_m)$ 满足：
- $ b_{m}>0 $ 趋于 $ \infty $;
- $ \sum a_{m}b_{m}^{j}=(-1)^{j} $ 对于 $ j\geq 0 $ 且和绝对收敛。
通过取 $ b_{n}=2^{n} $ 并寻找一个全纯函数可以得到这个方程组的解
$$ g(z)=\sum _{m=1}^{\infty }a_{m}z^{m} $$
使得 $ g\left(2^{j}\right)=(-1)^{j}. $可以构造出这样的函数。
通过 Weierstrass 定理 可以直接看出
$$ W(z)=\prod _{j\geq 1}(1-z/2^{j}), $$
是一个在 $ 2^{j} $ 处有简单零点的全纯函数。导数 $ W '(2j) $ 上下界有限。
通过 Mittag-Leffler 定理，函数
$$ M(z)=\sum _{j\geq 1}{(-1)^{j} \over W^{\prime }(2^{j})(z-2^{j})} $$
在 $ 2^{j} $ 处具有简单极点和规定的留数的亚纯函数。
通过构造
$${g(z)=W(z)M(z)}$$
是具有所需性质的全纯函数。
通过将算子 $E$ 应用于最后一个变量 $x_n$，可以定义 $\mathbb R^n$ 中半空间的扩展映射。类似地，使用光滑的partition of unity和局部变量变换，半空间的结果意味着存在一个类似的扩展映射
$$ \displaystyle {C^{\infty }({\overline {\Omega }})\rightarrow C^{\infty }(\mathbf {R} ^{n})} $$
对于 $\mathbb R^n$ 中具有光滑边界的任意域 $ \Omega $。 |
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