来自人教群的 $\ln^2x-[\ln x]-2=0$ 有几个解

kuing

设 $x=e^t$，则方程化为 $t^2-2=[t]$，因为 $t\geqslant [t]>t-1$，所以 $t\geqslant t^2-2>t-1$，解得
\[
-1\leqslant t<\frac{1-\sqrt5}2~\text{或}~\frac{1+\sqrt5}2<t\leqslant 2,\]
又由 $t^2-2=[t]$ 知 $t^2$ 必为自然数，于是可设 $\abs t=\sqrt n$, $n\in\Bbb N$，在上述解出的范围中找出所有符合 $\abs t=\sqrt n$ 的数为 $t=-1$, $t=\sqrt3$, $t=2$，经检验全部符合等式，所以原方程共三个解。

其妙

内江市高2014届三模考试题
blog.sina.com.cn/s/blog_59a5413d0101ic6k.html

kuing

回复 2# 其妙

出处党牛笔……
PS、还改了数据，不过明显没区别……

其妙

回复 3# kuing
还是姊妹题呢，

isee

第一眼，直接换元。
果然思路一致。

不过，特别奇怪，$x=e^t$，好像特殊值一般，再细一看，晕，换了个写法而已

isee

内江市高2014届三模考试题
其妙 发表于 2013-12-8 22:57

怎么没看见？第几题？


不过，四川的复习速度真快，全部结束了，还是复习顺序不同？

kuing

回复 5# isee

嗯，ln 完全是吓人，一换元就灭了……

kuing

回复 6# isee

选择-10