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利用二进制展开的唯一性，考虑有限乘积
\[
P_N(z)=\prod_{n=0}^{N}(1+z^{2^n}).
\]
当你展开 \(P_N(z)\) 时，每个因子 \((1+z^{2^n})\) 给你一个选择：要么取 \(1\)，要么取 \(z^{2^n}\)。因此，展开式是项
\[
z^{e_0 2^0+e_1 2^1+\cdots+e_N 2^N},\quad e_n\in\{0,1\}.
\]的和。
每个非负整数 \(m\) 都有一个唯一的二进制表示，这意味着当 \(N\to\infty\) 时，每个指数 \(m\ge0\) 恰好出现一次。因此，
\[
\prod_{n=0}^{\infty}(1+z^{2^n})=1+z+z^2+z^3+\cdots
\]
在 \(|z|<1\) 时有 $
\dfrac{1}{1-z}=1+z+z^2+z^3+\cdots
$，我们得到
\[
\frac{1}{1-z}=\prod_{n=0}^{\infty}(1+z^{2^n}).
\] |
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