三角不等式

创之谜

$a,b,c为三角形三边长，求\dfrac{2c^2-3b^2}{a^2}最大值$

kuing

根据 `(a^2-b^2)(c^2-d^2)\leqslant(ac-bd)^2` 得
\[2c^2-3b^2=6\left(\frac12-\frac13\right)(2c^2-3b^2)\leqslant6(c-b)^2<6a^2,\]
所以
\[\frac{2c^2-3b^2}{a^2}<6,\]
当 `2c=3b` 且 `a\to c-b` 时原式 `\to6`，所以原式无最大值，而有上确界 `6`。