期望、方差

hjfmhh

16．有甲，乙两个盒子，甲盒子里有 1 个红球，乙盒子里有 3 个红球和 3 个黑球，现从乙盒子里随机取出 $n\left(1 \leqslant n \leqslant 6, n \in \mathbf{N}^*\right)$ 个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为 $X$，则随着 $n\left(1 \leqslant n \leqslant 6, n \in \mathbf{N}^*\right)$ 的增大，下列说法正确的是
A．$E(X)$ 增大，$D(X)$ 增大
B．$E(X)$ 增大，$D(X)$ 减小
C．$E(X)$ 减小，$D(X)$ 增大
D．$E(X)$ 减小，$D(X)$ 减小
这题怎么解

kuing

概统我不熟，以下解法未必正确（先戴个头盔😁）

乙盒取出的 `n` 个球里预期有 `n/2` 个红球，放入甲盒后变成 `n+1` 个球里预期有 `n/2+1` 个红球，所以
\[E(X)=\frac{n/2+1}{n+1}=\frac12+\frac1{2(n+1)};\]
`D(X)` 表示方差对吧，那就是 `D(X)=E(X^2)-E(X)^2`，由于 `X=0` 或 `1`，两种情况均有 `X^2=X`，于是 `E(X^2)=E(X)`，因此
\[D(X)=E(X)\bigl(1-E(X)\bigr)=\frac14-\frac1{4(n+1)^2}.\]