一道集合题1

转化与化归

已知 $A=\mathbb Z, B=\mathbb Q$，
证明：不存在从 A 到 B 的函数 $y=f(x)$，使之满足：

• $B=\{f(x) \mid x \in A\}$；
• 对任意 $x_1, x_2 \in A$，当 $x_1<x_2$时，恒有 $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$

007

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    反证法啊
假设结论不成立，即存在满足题设的条件映射$f$，
则必存在整数$m,m+1$,使得有理数$f(m)<f(m+1)$.
现在考虑有理数$\dfrac{f(m)+f(m+1)}{2}$,设其原象为整数呢$n$,
若$n<m$,则有$f(n)<f(m)$,矛盾.
同理……
于是假设结论不成立是错误的，即原结论是正确的。

转化与化归

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证的好！

依然饭特稀

设 S，T是 R 的两个非空子集，如果存在一个从 S 到 T 的函数 $y=f(x)$满足：

• $T=(f(x) \mid x \in S)$ ；
• 对任意 $x_1, x_2 \in S$．当 $x_1<x_2$ 时，恒有 $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$

那么称这两个集合＂保序同构＂。以下集合对不是＂保序同构＂的是（）

• $A=N^*, B=N$
• $A=\{x \mid-1 \leq x \leq 3\}, B=\{x \mid x=-8,0<x \leq 10\}$
• $A=(x \mid 0<x<1\}, B=R$
• $A=Z, B=Q$

对于 $A$ 可以直接考虑以 0 为首项 1 为公差的等差数列判断；对于 $B, B=\{x \mid 0<x \leq 10\}$ 注
意到值域里的 -8，据题意 $f(-1)=-8$ ，再就是 $A=(x \mid-1<x \leq 3)$ 这部分了，考虑过 $(-1,0),(3,10)$ 的直线的一部分，即 $y=\frac{5}{2} x+\frac{5}{2}(-1<x \leq 3)$；对于 C．考虑函数 $y=\tan \left(\pi x-\frac{\pi}{2}\right)(0<x<1)$ ；对于 $D$ 不妨假设 $f(n)=a, f(n+1)=b$，我们就会发现 $\frac{a+b}{2}$并不存在原像．

kuing

广州蓝老师(2140*****)  23:26:45

1.（2013 福建，10，5 分）设 $S$, $T$ 是 $\mbb R$ 的两个非空子集，如果存在一个从 $S$ 到 $T$ 的函数 $y=f(x)$ 满足：（i）$T=\{f(x)\mathrel|x\in S\}$；（ii）对任意 $x_1$, $x_2\in S$，当 $x_1<x_2$ 时，恒有 $f(x_1)<f(x_2)$，那么称这两个集合“保序同构”。以下集合对不是“保序同构”的是（   ）

• $A=\mbb N^+$, $B=\mbb N$
• $A=\{x\mathrel|-1\leqslant x\leqslant 3\}$, $B=\{x\mathrel|x=-8~\text{或}~0<x\leqslant 10\}$
• $A=\{x\mathrel|0<x<1\}$, $B=\mbb R$
• $A=\mbb Z$, $B=\mbb Q$

广州蓝老师(2140*****)  23:28:05
此题有什么解法？
河源  刘老师(2913*****)  23:28:52
D？
广州kuing  23:50:27
显然是D啊
广州kuing  23:57:27
假设 Z 与 Q 中存在满足题意的 f，设 f(x)=q1, f(x+1)=q2，x in Z, q1,q2 in Q，依题意必有 q1<q2 ，现在考虑有理数 (q1+q2)/2 的原象 y，因为 q1<(q1+q2)/2<q2，则必有 x<y<x+1，显然不可能。

解：假设 $\mbb Z$ 与 $\mbb Q$ 中存在满足题意的 $f$，设 $f(x)=q_1$, $f(x+1)=q_2$, $x \in \mbb Z$, $q_1$, $q_2 \in\mbb Q$，依题意必有 $q_1<q_2$，现在考虑有理数 $(q_1+q_2)/2$ 的原象 $y$，因为 $q_1<(q_1+q_2)/2<q_2$，则必有 $x<y<x+1$，显然不可能。