湖北2月的一个概率题

xianjian

利用计算机生成随机数来模拟实际生活中的事件，然后估计相关事件发生的概率是概率统计中经常使用的方法．
（1）现在用这种方法生成数列 $\left\{a_1, a_2, a_3, a_4\right\}$ ，满足：$a_i \in\{1,2,3,4,5,6\},(i=1,2, \cdots)$ ，求后三项中每一项都不小于前一项的概率；
（2）利用这种方法生成数列 $b_1, b_2, \cdots \cdots, b_n$ ．满足：$b_i \in\{1,2\},(i=1,2, \cdots)$ 用 $p_n$ 表示未连续出现三次 1 的概率，试求出 $\left\{p_n\right\}$ 的递推公式；
（3）利用这种方法生成数列 $\left\{c_n\right\},\left\{d_n\right\}$ 满足：①$c_i, d_i \in\{1,2,3,4,5,6\},(i=1,2, \cdots)$ ；②当出现 "1" 时，操作停止，求 $\left\{c_n\right\}$ 和 $\left\{d_n\right\}$ 至多相差一项的概率（当 $0<q<1$ 时，$\sum_{k=2}^{\infty} q^k=0$）．

【小问 1 详解】
满足条件 $a_i \in\{1,2,3,4,5,6\}$ 的数列 $\left\{a_1, a_2, a_3, a_4\right\}$ 共有 $6 \times 6 \times 6 \times 6=6^4$ 个，
从 $1,2,3,4,5,6$ 中任选 4 个数（允许重复）的选法有 $\mathrm{C}_{6+4-1}^4=\mathrm{C}_9^4$ ，
所以满足条件后三项中每一项都不小于前一项的数列 $\left\{a_1, a_2, a_3, a_4\right\}$ ，且 $a_i \in\{1,2,3,4,5,6\}$ 的数列的个数为 $\mathrm{C}_9^4$，
所求概率为 $\frac{\mathrm{C}_9^4}{6^4}=\frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 6^4}=\frac{9 \times 2 \times 7}{6 \times 6 \times 6 \times 6}=\frac{7}{72}$；

【小问 2 详解】
①若第 $n$ 次是 2 ，则满足要求的概率为 $\frac{1}{2} p_{n-1}$ ；
②若第 $n$ 次是 1 ，且第 $n-1$ 次为 2 ，则满足要求的概率为 $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} p_{n-2}$ ；
③若第 $n$ 次是 1 ，且第 $n-1$ 次为 1 ，则满足要求的概率为 $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} p_{n-3}$ ；于是 $p_n=\frac{1}{2} p_{n-1}+\frac{1}{4} p_{n-2}+\frac{1}{8} p_{n-3}$ ；

怎么理解问题1中的$\mathrm{C}_9^4$？

kuing

（1）令
\begin{align*}
a&=a_1,\\
b&=a_2-a_1+1,\\
c&=a_3-a_2+1,\\
d&=a_4-a_3+1,\\
e&=6-a_4+1,
\end{align*}
则 `a`, `b`, `c`, `d`, `e\inN^+` 且 `a+b+c+d+e=10`，于是变成了隔板法：
在九个空插入四个隔板分成五组，所以就是 `C_9^4`。

xianjian

湖北省云学名校联盟2024-2025学年高三下学期2月联考数学试题
原题就是这样的

hbghlyj

xianjian 发表于 2025-3-24 01:44
当 $0<q<1$ 时，$\sum_{k=2}^{\infty} q^k=0$

\[
\sum_{k=2}^{\infty} q^k=\frac{q^2}{1-q}
\]