对称问题

敬畏数学

$f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}  $，对于任意$ \dfrac{1}{3} \leqslant x\leqslant \dfrac{3}{5}$有$ f(x)+f(4x-a) \leqslant 0$均成立，则实数$ a $的范围__________. $ f(x)为奇函数，0\leqslant x\leqslant 1增函数,x\geqslant 1为减函数,且f(x)=f(\dfrac{1}{x}),$$f(x)=f(1/x)\leqslant f(a-4x),$，$x\leqslant a-4x\leqslant \dfrac{1}{x}  $，对$ \dfrac{1}{3}\leqslant x\leqslant \dfrac{3}{5} $均成立，则$ 3\leqslant a\leqslant 4 $

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求助！

战巡

\[f(x)+f(4x-a)=\frac{x}{x^2+1}+\frac{4x-a}{(4x-a)^2+1}=\frac{(5x-a)(4x^2-ax+1)}{(1+x^2)(1+(4x-a)^2}\le 0\]
\[5x\le a\le 4x+\frac{1}{x}\]
对于$\frac{1}{3}\le x\le \frac{3}{5}$而言
\[5x\le 3\le a\le4\le 4x+\frac{1}{x}\]
最后
\[3\le a\le 4\]

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战巡 发表于 2025-3-29 11:15
\[f(x)+f(4x-a)=\frac{x}{x^2+1}+\frac{4x-a}{(4x-a)^2+1}=\frac{(5x-a)(4x^2-ax+1)}{(1+x^2)(1+(4x-a)^2}\ ...

谢谢您的解答!

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注意函数图像的应用。非常妙的在于函数值自身的特性。