√2、∛2一直到六次根号2的积中最多能找到多少个使得无法用Q中的系数非全0线性组合=0

hbghlyj

Linear independence of exponentials

令 $S=\{\sqrt{2}, \sqrt[3]{2}, \sqrt[4]{2}, \sqrt[5]{2}, \sqrt[6]{2}\}$ ．令 $T=\left\{a_1 a_2 \cdots a_k \mid a_1, \cdots, a_k \in S\right\}$ ．问 $T$ 中最多可以找到几个 $\mathbb{Q}$-线性无关的数


2,3,5两两互质，因此最大的线性无关组的大小至少是$2^3$。

hbghlyj

令 a=⁶⁰√2，将 S 表为
a³⁰ = √2, a²⁰ = ∛2, a¹⁵=∜2, a¹²=⁵√2, a¹⁰=⁶√2

hbghlyj

Python得到答案 24，是否正确？

1. def compute_unique_sums():
2.     numbers = [30, 20, 15, 12, 10]
3.     dp = set()
4.     for num in numbers:
5.         new_sums = set()
6.         new_sums.add(num)
7.         for existing in dp:
8.             new_sum = (existing + num) % 60
9.             new_sums.add(new_sum)
10.         dp.update(new_sums)
11.     return dp
13. unique_sums = compute_unique_sums() # Returns {0, 2, 5, 7, ..., 57}
14. print("Number of distinct results:", len(unique_sums))

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