求证满足两个条件的角

lemondian

对任意正整数 $n \geq 5$，总存在 $n$ 个锐角 $a_1, a_2, \dots,a_n$ 同时满足：
（1）$\sum_{i=1}^n a_i=\pi$
（2）$\sum_{i=1}^n \sin^2 a_i=2$

kuing

令 `a_1=a_2=a_3=x\in(0,\pi/3)`, `a_4=\cdots=a_n=(\pi-3x)/(n-3)`，这时满足所有角为锐角且和为 `\pi`，再令
\[f(x)=\sum_{i=1}^n\sin^2a_i=3\sin^2x+(n-3)\sin^2\frac{\pi-3x}{n-3},\]
则
\begin{align*}
f\left(\frac\pi3\right)&=3\sin^2\frac\pi3=\frac94>2,\\
f\left(\frac\pi n\right)&=n\sin^2\frac\pi n<4\sin^2\frac\pi4=2,
\end{align*}
（第二个不等号由 `n\sin^2\frac\pi n` 在 `n\geqslant3` 时递减而得）于是在 `(\pi/n,\pi/3)` 内存在 `x_0` 使 `f(x_0)=2`，此时即满足条件（2），即得证。