一个排列问题

lemondian

原问题：高考英语中有一道7选5的题，给定一篇短文及5个空白处，要求考生从短文后的7个选项（ABCDEFG）中选出能填入空白处的最佳选项，如果很不幸这位同学英语学的不怎么好，在上手就蒙的前提下，他全错的种数是多少？
举个例子：设定正确的答案是ABCDE，则BAEDC，EDBCA，FCBAD都是全错的。
这个问题网上已有解析。

现在有一个新问题：
新问题：有$n$个元素，从中选出$m$个元素，使得有$t$个不在规定的位置，有多少种（$n\geqslant m\geqslant t$）？

如：有6个（ABCDEF）学生，从中选出4个学生，若有2个学生不在规定的位置（如规定的位置是ABCD），有多少种排法？（ABDC，AECB等都是符合题意的，ACDB，EFAB等是不符合题意的）

新问题如何解决？有没有递推关系式？

kuing

kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=290

lemondian

kuing 发表于 2025-4-4 21:51
https://kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=290

这贴的是：有n个元素，从中选出m个元素不在规定的位置.
我上面的问题更一般吧

kuing

lemondian 发表于 2025-4-4 22:14
这贴的是：有n个元素，从中选出m个元素不在规定的位置.
我上面的问题更一般吧 ...

是更一般，但只要一步就可以转化了啊。

`m` 个空，`t` 个填错，即 `m-t` 个填对。
于是第一步先从 `m` 个元素中选出这 `m-t` 个对的，方法数：`C_m^t`。
第二步就变成：从 `n-(m-t)` 个元素，选出 `t` 个，全错，方法数套链接中的公式即可。
两步相乘就是答案。

lemondian

kuing 发表于 2025-4-5 14:43
是更一般，但只要一步就可以转化了啊。

`m` 个空，`t` 个填错，即 `m-t` 个填对。

我也是这样想的，写了几次都没写对。

麻烦@kuing写一下结果公式吧。

另外有没有递推公式呀，如果得到象“错排问题”哪样的递推公式就完美了。

lemondian

lemondian 发表于 2025-4-5 18:00
我也是这样想的，写了几次都没写对。

麻烦@kuing写一下结果公式吧。

这个对么？
$C_m^t\displaystyle\sum_{k=0}^t(-1)^kC_t^kA_{n-(m-t)-k}^{t-k}.$