如下

溦澜居士

k，d，k1，k2，k3，d1，d2，d3属于自然数
k，d，c1，c2，c3是正常数
i是取1，2，3的下标
ki/di=ci
k1+k2+k3=k
d1+d2+d3≤d
给出上述常数的值能否给出未知数的值或估算值

hbghlyj

我们可以先利用等式 k_i/d_i = c_i 得到 k_i = c_i·d_i，于是原式可写为

  c₁·d₁ + c₂·d₂ + c₃·d₃ = k                     (1)

同时还有 d₁ + d₂ + d₃ ≤ d，且 d₁, d₂, d₃ 都要求为正整数。

换句话说，问题转换为：对于给定常数 k, d, c₁, c₂, c₃，是否存在正整数 d₁, d₂, d₃ 使得  
  c₁·d₁ + c₂·d₂ + c₃·d₃ = k  
且  
  d₁ + d₂ + d₃ ≤ d  
成立？如果存在这样的 d₁, d₂, d₃，则相应地 k₁, k₂, k₃ 可唯一得到（即 k_i = c_i·d_i）。

注意这里需要几个方面的条件：  

若令 d₁+d₂+d₃ 取最大值 d，那么等式 (1) 变为  
  c₁·d₁ + c₂·d₂ + c₃·(d – d₁ – d₂) = k  
即  
  (c₁ – c₃)·d₁ + (c₂ – c₃)·d₂ + c₃·d = k  
这要求 k – c₃·d 落在由 (c₁ – c₃)·d₁ + (c₂ – c₃)·d₂ 能达到的值域内。

其次，如果 c₁, c₂, c₃ 是无理数，那么等式 (1) 对 d₁, d₂, d₃ 取值提出了非常严格的需求。通常只有当 k 与 c_i 的乘积关系刚好“匹配”某个（或多个）自然数解时，才存在解。也就是说，必要条件是 k 必须表示为 c₁·d₁ + c₂·d₂ + c₃·d₃ 的形式，其中 d₁, d₂, d₃ 是满足 d₁+d₂+d₃≤d 的自然数。

因此，总结来说：

• 当已知 k, d, c₁, c₂, c₃ 后，解这一组方程（和不等式）的过程是一道带有整数约束的线性规划或整数规划问题。只有在常数之间满足“相容性条件”（即 k 必须落在由满足 d₁+d₂+d₃ ≤ d 的自然数组合通过线性组合 c₁, c₂, c₃ 所构成的区间内）时，才可能给出一组（可能不唯一的）解。
• 但如果这些条件不满足（例如 k 与 c_i 的比例关系和 d 的上限不匹配），则不存在这样的自然数解。